複素数 $\sqrt{-2 - 5i}$ の計算です。

1. 問題の内容

複素数 $\sqrt{-2 - 5i}$ の計算です。

2. 解き方の手順

複素数 $z = -2 - 5i$ の平方根を求めます。

$\sqrt{z} = a + bi$ とおくと、

$z = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2$

よって、

$a^2 - b^2 = -2$

$2ab = -5$

$b = -\frac{5}{2a}$

これを $a^2 - b^2 = -2$ に代入すると、

$a^2 - (\frac{-5}{2a})^2 = -2$

$a^2 - \frac{25}{4a^2} = -2$

両辺に $4a^2$ をかけると、

$4a^4 - 25 = -8a^2$

$4a^4 + 8a^2 - 25 = 0$

$x = a^2$ とおくと、

$4x^2 + 8x - 25 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 4 \cdot (-25)}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 400}}{8} = \frac{-8 \pm \sqrt{464}}{8} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{29}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{29}}{2}$

$a^2 = x$ なので、

$a^2 = \frac{-2 + \sqrt{29}}{2}$ （$a^2 \ge 0$ なので、$a^2 = \frac{-2 - \sqrt{29}}{2}$ は不適）

$a = \pm \sqrt{\frac{-2 + \sqrt{29}}{2}}$

$a > 0$ とすると、 $a = \sqrt{\frac{-2 + \sqrt{29}}{2}}$

$b = -\frac{5}{2a} = -\frac{5}{2\sqrt{\frac{-2 + \sqrt{29}}{2}}} = -\frac{5}{\sqrt{2(-2 + \sqrt{29})}} = -\frac{5}{\sqrt{-4 + 2\sqrt{29}}}$

$a < 0$ とすると、 $a = -\sqrt{\frac{-2 + \sqrt{29}}{2}}$

$b = -\frac{5}{2a} = -\frac{5}{-2\sqrt{\frac{-2 + \sqrt{29}}{2}}} = \frac{5}{2\sqrt{\frac{-2 + \sqrt{29}}{2}}} = \frac{5}{\sqrt{2(-2 + \sqrt{29})}} = \frac{5}{\sqrt{-4 + 2\sqrt{29}}}$

別の方法で、

$(a+bi)^2 = -2-5i$

$a^2-b^2+2abi = -2-5i$

$a^2-b^2=-2$

$2ab=-5$

$a^2-(-5/2a)^2=-2$

$a^2-25/4a^2=-2$

$4a^4-25=-8a^2$

$4a^4+8a^2-25=0$

$a^2=\frac{-8\pm \sqrt{64+400}}{8} = \frac{-8\pm \sqrt{464}}{8} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{29}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{29}}{2}$

$a^2=\frac{-2+\sqrt{29}}{2}$

$a=\pm \sqrt{\frac{-2+\sqrt{29}}{2}}$

$b=-\frac{5}{2a} = \mp \frac{5}{2\sqrt{\frac{-2+\sqrt{29}}{2}}} = \mp \sqrt{\frac{25}{4 \cdot \frac{-2+\sqrt{29}}{2}}}= \mp \sqrt{\frac{25}{-4+2\sqrt{29}}}$

正解は $\sqrt{\frac{-2+\sqrt{29}}{2}} - i\sqrt{\frac{2+\sqrt{29}}{2}}$と$-\sqrt{\frac{-2+\sqrt{29}}{2}} + i\sqrt{\frac{2+\sqrt{29}}{2}}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{\frac{\sqrt{29}-2}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt{29}+2}{2}}$, $-\sqrt{\frac{\sqrt{29}-2}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{29}+2}{2}}$