与えられた行列 $A$, $B$, $C$, $I$ を用いて、以下の4つの行列演算の結果を計算します。 (1) $A^T B^T$ (2) $(AB)^T$ (3) $AI + BI^3$ (4) $(BC)^4$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$, $B$, $C$, $I$ を用いて、以下の4つの行列演算の結果を計算します。

(1) $A^T B^T$

(2) $(AB)^T$

(3) $AI + BI^3$

(4) $(BC)^4$

2. 解き方の手順

(1) $A^T B^T$ の計算

まず、$A$と$B$の転置行列を計算します。

$A = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ より $A^T = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ より $B^T = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$

次に、$A^T B^T$ を計算します。

$A^T B^T = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-4)(1) + (-2)(-2) & (-4)(-3) + (-2)(2) \\ (3)(1) + (1)(-2) & (3)(-3) + (1)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ 1 & -7 \end{pmatrix}$

(2) $(AB)^T$ の計算

まず、$AB$を計算します。

$AB = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-4)(1) + (3)(-3) & (-4)(-2) + (3)(2) \\ (-2)(1) + (1)(-3) & (-2)(-2) + (1)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13 & 14 \\ -5 & 6 \end{pmatrix}$

次に、$AB$の転置行列を計算します。

$(AB)^T = \begin{pmatrix} -13 & -5 \\ 14 & 6 \end{pmatrix}$

(3) $AI + BI^3$ の計算

$I$ は単位行列なので、$AI = A$、$I^3 = I$、$BI^3 = BI = B$ となります。

したがって、$AI + BI^3 = A + B = \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$

(4) $(BC)^4$ の計算

まず、$BC$を計算します。

$BC = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(2) + (-2)(3) & (1)(2) + (-2)(1) \\ (-3)(2) + (2)(3) & (-3)(2) + (2)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} = -4I$

次に、$(BC)^4$を計算します。

$(BC)^4 = (-4I)^4 = (-4)^4 I^4 = 256I = 256 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 256 & 0 \\ 0 & 256 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A^T B^T = \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ 1 & -7 \end{pmatrix}$

(2) $(AB)^T = \begin{pmatrix} -13 & -5 \\ 14 & 6 \end{pmatrix}$

(3) $AI + BI^3 = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$

(4) $(BC)^4 = \begin{pmatrix} 256 & 0 \\ 0 & 256 \end{pmatrix}$