3次方程式 $x^3 - 5x^2 + ax + b = 0$ があり、その解の一つが $3 + 2i$ である。ここで、$a$ と $b$ は実数である。$a$ と $b$ の値を求め、さらに他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 5x^2 + ax + b = 0$ があり、その解の一つが $3 + 2i$ である。ここで、$a$ と $b$ は実数である。$a$ と $b$ の値を求め、さらに他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 複素数解の性質：係数が実数の多項式において、$3 + 2i$ が解ならば、その共役複素数である $3 - 2i$ も解である。

(2) 解と係数の関係：3次方程式の解を $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ とすると、解と係数の関係より以下が成り立つ。

* $\alpha + \beta + \gamma = 5$

* $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = a$

* $\alpha\beta\gamma = -b$

(3) 解を代入：$\alpha = 3 + 2i$, $\beta = 3 - 2i$ とすると、$\gamma$ を求める。

$(3 + 2i) + (3 - 2i) + \gamma = 5$

$6 + \gamma = 5$

$\gamma = -1$

(4) $a$ の計算：

$a = (3 + 2i)(3 - 2i) + (3 - 2i)(-1) + (-1)(3 + 2i)$

$a = 9 + 4 - 3 + 2i - 3 - 2i$

$a = 13 - 6 = 7$

(5) $b$ の計算：

$-b = (3 + 2i)(3 - 2i)(-1)$

$-b = (9 + 4)(-1)$

$-b = -13$

$b = 13$

(6) 他の解：他の解は $3 - 2i$ と $-1$ である。

3. 最終的な答え

$a = 7$

$b = 13$

他の解は $3 - 2i$ と $-1$