$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$, $y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2+y^2$ (4) $x^3+y^3$ ただし、(3), (4) は $x+y$ と $xy$ で表した式に変形したものを求める。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$, $y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2+y^2$

(4) $x^3+y^3$

ただし、(3), (4) は $x+y$ と $xy$ で表した式に変形したものを求める。

2. 解き方の手順

(1) $x+y$ を計算する。

$x+y = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} + \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2 + (\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$

$= \frac{(3+2\sqrt{3}+1) + (3-2\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{8}{2} = 4$

(2) $xy$ を計算する。

$xy = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = 1$

(3) $x^2+y^2$ を計算する。

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 4^2 - 2(1) = 16 - 2 = 14$

(4) $x^3+y^3$ を計算する。

$x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = 4^3 - 3(1)(4) = 64 - 12 = 52$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 4$

(2) $xy = 1$

(3) $x^2+y^2 = 14$

(4) $x^3+y^3 = 52$