周囲の長さが24 cmの長方形がある。長辺の長さを$x$ cmとするとき、長方形の面積が20 cm$^2$以上32 cm$^2$以下となる$x$の範囲を求める。

1. 問題の内容

周囲の長さが24 cmの長方形がある。長辺の長さを$x$ cmとするとき、長方形の面積が20 cm$^2$以上32 cm$^2$以下となる$x$の範囲を求める。

2. 解き方の手順

長方形の長辺を$x$、短辺を$y$とする。

長方形の周囲の長さは$2x + 2y = 24$。これを$x$と$y$の関係式として変形する。

次に、長方形の面積$S = xy$を求め、面積の条件$20 \le S \le 32$を適用して、$x$の範囲を求める。

まず、周囲の長さに関する式を簡略化する：

$2x + 2y = 24$

$x + y = 12$

したがって、$y = 12 - x$。

次に、面積の式を立てる：

$S = xy = x(12 - x) = 12x - x^2$

面積の条件から、次の不等式が成り立つ：

$20 \le 12x - x^2 \le 32$

これを2つの不等式に分解する。

1. $12x - x^2 \ge 20$

$x^2 - 12x + 20 \le 0$

$(x - 2)(x - 10) \le 0$

よって、$2 \le x \le 10$

2. $12x - x^2 \le 32$

$x^2 - 12x + 32 \ge 0$

$(x - 4)(x - 8) \ge 0$

よって、$x \le 4$ または $x \ge 8$

$x$は長辺の長さなので、$x \ge y$でなければならない。

$x \ge 12-x$より$2x \ge 12$なので、$x \ge 6$。

これより、$x \le 4$は条件を満たさない。

上記1と2の条件から、$x$の範囲を絞り込む。

$2 \le x \le 10$と、$x \le 4$または$x \ge 8$から、$8 \le x \le 10$と$2 \le x \le 4$が得られる。

$x \ge 6$の条件を考慮すると、$8 \le x \le 10$のみが条件を満たす。

また、長方形なので、$x < 12$ である必要がある。

$x \ge y$より$x \ge 12-x$なので、$x \ge 6$。

条件から $x$ は長辺の長さであるため、$x$ は最大で $12$ である。

したがって、 $2 \le x \le 10$ と $x \ge 8$ と $x \le 4$ の共通範囲を求めると、$8 \le x \le 10$ および $2 \le x \le 4$。

しかし $x$ は長辺なので、$x \ge 6$ 。

したがって、$8 \le x \le 10$。

3. 最終的な答え

$8 \le x \le 10$