与えられた4つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^2y - 2xyz - y - xy^2 + x - 2z$ (2) $2x^2 + 3xy + y^2 + 3x + y - 2$ (3) $x^4 - 13x^2 + 36$ (4) $x^4 + 4$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^2y - 2xyz - y - xy^2 + x - 2z$

(2) $2x^2 + 3xy + y^2 + 3x + y - 2$

(3) $x^4 - 13x^2 + 36$

(4) $x^4 + 4$

2. 解き方の手順

(1)

$x^2y - 2xyz - y - xy^2 + x - 2z$ を因数分解します。

まず、$z$ を含む項と含まない項に分けます。

$(x^2y - y - xy^2 + x) + (-2xyz - 2z) = x^2y - xy^2 - y + x - 2z(xy + 1)$

$xy(x-y) + (x-y) - 2z(xy+1) = (x-y)(xy+1) - 2z(xy+1) = (xy+1)(x-y-2z)$

(2)

$2x^2 + 3xy + y^2 + 3x + y - 2$ を因数分解します。

$x$ について整理します。

$2x^2 + (3y+3)x + (y^2 + y - 2)$

$2x^2 + (3y+3)x + (y+2)(y-1)$

$(2x+y+a)(x+y+b)=2x^2 + (2y+a+y+b)x + (y^2+by+ay+ab)$

$2x^2 + (3y+a+b)x + y^2+(a+b)y+ab$

$a+b=3$, $a+b=1$, $ab = -2$

$2x^2 + (3y+3)x + (y+2)(y-1)$

$(2x+y+2)(x+y-1) = 2x^2+2xy-2x+xy+y^2-y+2x+2y-2 = 2x^2+3xy+y^2+y-2$

$(2x+y-1)(x+y+2)= 2x^2 + 2xy + 4x + xy + y^2 + 2y - x - y - 2 = 2x^2 + 3xy + y^2 + 3x + y - 2$

(3)

$x^4 - 13x^2 + 36$ を因数分解します。

$x^2 = X$ と置換します。

$X^2 - 13X + 36 = (X-4)(X-9)$

$(x^2-4)(x^2-9) = (x-2)(x+2)(x-3)(x+3)$

(4)

$x^4 + 4$ を因数分解します。

$x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2+2)^2 - (2x)^2 = (x^2+2-2x)(x^2+2+2x) = (x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$

3. 最終的な答え

(1) $(xy+1)(x-y-2z)$

(2) $(2x+y-1)(x+y+2)$

(3) $(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)$

(4) $(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$