与えられた対数方程式 $2(\log_5 x)^2 + \log_5 \frac{x}{5} = 0$ を解いて、$x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた対数方程式 $2(\log_5 x)^2 + \log_5 \frac{x}{5} = 0$ を解いて、$x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って式を整理します。$\log_5 \frac{x}{5}$ を $\log_5 x - \log_5 5$ に分解できます。$\log_5 5 = 1$ なので、

$\log_5 \frac{x}{5} = \log_5 x - 1$

これを元の式に代入します。

$2(\log_5 x)^2 + \log_5 x - 1 = 0$

ここで、$y = \log_5 x$ と置くと、この式は $y$ に関する二次方程式になります。

$2y^2 + y - 1 = 0$

この二次方程式を解きます。因数分解すると、

$(2y - 1)(y + 1) = 0$

したがって、$y = \frac{1}{2}$ または $y = -1$ です。

$y = \log_5 x$ なので、$x$ を求めます。

$y = \frac{1}{2}$ のとき、 $\log_5 x = \frac{1}{2}$ なので、$x = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$

$y = -1$ のとき、 $\log_5 x = -1$ なので、$x = 5^{-1} = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

$x = \sqrt{5}, \frac{1}{5}$