## 問題の概要

## 問題の概要

ある通信会社の携帯電話料金プラン（A, B, C）があり、それぞれの基本料金と通話料金が設定されています。花子さんと太郎さんの1ヶ月の通話時間はどちらも $x$ 分で、花子さんはプランA、太郎さんはプランBを最初は利用しています。

(1) 花子さんの利用料金 $P$ が7000円となるような $x$ の値を求めます。

(2) 花子さんと太郎さんの利用料金の差 $|P-Q|$ が1200円となるような $x$ の値を求めます。

(3) 花子さんがプランCに変更し、太郎さんはプランBのまま利用する場合、以下の条件を満たす $x$ の範囲を求めます。

* 条件1：花子さんと太郎さんの利用料金の差 $|P-Q|$ が1200円以下となる。

* 条件2：花子さんの利用料金が、プランAを利用していたときの利用料金以下になる。

## 解き方の手順

**(1) 花子さんの利用料金 $P$ が7000円となるような $x$ の値を求める**

花子さんはプランAを利用しており、基本料金は6000円です。利用料金 $P$ が7000円なので、通話料金は1000円となります。

プランAでは、240分までは無料なので、$x > 240$ です。240分を超えた分については1分ごとに10円かかるため、

$10(x - 240) = 1000$

$x - 240 = 100$

$x = 340$

**(2) 花子さんと太郎さんの利用料金の差 $|P-Q|$ が1200円となるような $x$ の値を求める**

花子さんのプランAの利用料金 $P$ は、 $x \le 240$ のとき $P = 6000$ 、 $x > 240$ のとき $P = 6000 + 10(x - 240)$ となります。

太郎さんのプランBの利用料金 $Q$ は、 $Q = 600 + 20x$ です。

$|P - Q| = 1200$ なので、$P - Q = 1200$ または $P - Q = -1200$ を満たす $x$ を求めます。

(i) $P - Q = 1200$ のとき

* $x \le 240$ のとき： $6000 - (600 + 20x) = 1200 \implies 5400 - 20x = 1200 \implies 20x = 4200 \implies x = 210$

* $x > 240$ のとき： $6000 + 10(x - 240) - (600 + 20x) = 1200 \implies 6000 + 10x - 2400 - 600 - 20x = 1200 \implies -10x + 3000 = 1200 \implies -10x = -1800 \implies x = 180$

$x \le 240$ のときの $x = 210$ は条件を満たし、$x > 240$ のときの $x = 180$ は条件を満たしません。

(ii) $P - Q = -1200$ のとき

* $x \le 240$ のとき： $6000 - (600 + 20x) = -1200 \implies 5400 - 20x = -1200 \implies 20x = 6600 \implies x = 330$

* $x > 240$ のとき： $6000 + 10(x - 240) - (600 + 20x) = -1200 \implies 6000 + 10x - 2400 - 600 - 20x = -1200 \implies -10x + 3000 = -1200 \implies -10x = -4200 \implies x = 420$

$x \le 240$ のときの $x = 330$ は条件を満たさず、$x > 240$ のときの $x = 420$ は条件を満たします。

したがって、$x = 210, 420$

**(3) 花子さんがプランCに変更し、太郎さんはプランBのまま利用する場合の条件を満たす $x$ の範囲を求める**

花子さんのプランCの利用料金 $P$ は、 $x \le 100$ のとき $P = 5000$ 、 $100 < x \le 300$ のとき $P = 5000 + 5(x - 100)$ 、 $x > 300$ のとき $P = 5000 + 5(300 - 100) + 15(x - 300) = 5000 + 1000 + 15(x - 300) = 6000 + 15(x - 300)$ となります。

太郎さんのプランBの利用料金 $Q$ は、 $Q = 600 + 20x$ です。

花子さんのプランAを利用していたときの利用料金は、(1)の結果から、$x=340$ のとき 7000円でした。

**条件1：$|P - Q| \le 1200$**

(i) $100 \le x \le 300$ のとき：

$|5000 + 5(x - 100) - (600 + 20x)| \le 1200 \implies |5000 + 5x - 500 - 600 - 20x| \le 1200 \implies |3900 - 15x| \le 1200$

$-1200 \le 3900 - 15x \le 1200 \implies -5100 \le -15x \le -2700 \implies 2700 \le 15x \le 5100 \implies 180 \le x \le 340$

$100 \le x \le 300$ と $180 \le x \le 340$ の共通範囲は $180 \le x \le 300$

(ii) $x > 300$ のとき：

$|6000 + 15(x - 300) - (600 + 20x)| \le 1200 \implies |6000 + 15x - 4500 - 600 - 20x| \le 1200 \implies |900 - 5x| \le 1200$

$-1200 \le 900 - 5x \le 1200 \implies -2100 \le -5x \le 300 \implies -300 \le 5x \le 2100 \implies -60 \le x \le 420$

$x > 300$ と $-60 \le x \le 420$ の共通範囲は $300 < x \le 420$

条件1を満たす $x$ の範囲は $180 \le x \le 420$

**条件2：$P \le 7000$**

(i) $100 \le x \le 300$ のとき： $5000 + 5(x - 100) \le 7000 \implies 5000 + 5x - 500 \le 7000 \implies 5x \le 2500 \implies x \le 500$

$100 \le x \le 300$ と $x \le 500$ の共通範囲は $100 \le x \le 300$

(ii) $x > 300$ のとき： $6000 + 15(x - 300) \le 7000 \implies 6000 + 15x - 4500 \le 7000 \implies 15x \le 5500 \implies x \le \frac{1100}{3} \approx 366.67$

$x > 300$ と $x \le 366.67$ の共通範囲は $300 < x \le 366$

条件2を満たす $x$ の範囲は $100 \le x \le 366$

条件1、2をともに満たす $x$ の範囲は $180 \le x \le 366$

## 最終的な答え

(1) $x = 340$

(2) $x = 210, 420$

(3)

* 条件1を満たす $x$ の範囲：$180 \le x \le 420$

* 条件1, 2をともに満たす $x$ の範囲：$180 \le x \le 366$