以下の2つの命題の真偽を判定し、正しい組み合わせを選択する問題です。 (1) $a+b$ と $ab$ がともに無理数ならば、$a$ と $b$ もともに無理数である。 (2) $x=5$ ならば $x^2 - 4x - 6 = 0$ である。

1. 問題の内容

以下の2つの命題の真偽を判定し、正しい組み合わせを選択する問題です。

(1) $a+b$ と $ab$ がともに無理数ならば、$a$ と $b$ もともに無理数である。

(2) $x=5$ ならば $x^2 - 4x - 6 = 0$ である。

2. 解き方の手順

(1) の命題について考えます。これは偽です。反例として、$a = \sqrt{2}$、$b = -\sqrt{2}$ を考えます。

このとき、$a+b = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$ (有理数)であり、$ab = (\sqrt{2})(-\sqrt{2}) = -2$ (有理数)となります。

また、$a = 2 + \sqrt{2}$、$b = 2 - \sqrt{2}$ のとき、$a+b = 4$ (有理数)であり、$ab = 4-2 = 2$ (有理数)となります。

しかし、$a = \sqrt{2}, b = \sqrt{3}$の場合、$a+b = \sqrt{2}+\sqrt{3}$ (無理数)であり、$ab = \sqrt{6}$ (無理数)となります。$a, b$ともに無理数です。

一方、$a = 1 + \sqrt{2}, b = 1 - \sqrt{2}$のとき、$a+b = 2$ (有理数)であり、$ab = 1 - 2 = -1$ (有理数)となります。

$a = \sqrt{2}$, $b = 1 - \sqrt{2}$を考えると、$a + b = 1$, $ab = \sqrt{2} - 2$となり、$a+b$は有理数、$ab$は無理数となります。

$a = 2 + \sqrt{3}$, $b = 1 - \sqrt{3}$の場合、$a+b = 3$, $ab = 2 + \sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 3 = -1 - \sqrt{3}$となり、$a+b$は有理数、$ab$は無理数となります。

よって、a, bが無理数とは限らないので、命題(1)は偽となります。

(2) の命題について考えます。$x=5$ を $x^2 - 4x - 6 = 0$ に代入すると、

$5^2 - 4(5) - 6 = 25 - 20 - 6 = -1 \neq 0$

したがって、この命題は偽です。

3. 最終的な答え

(1) 偽 (2) 偽

選択肢 1 が正解です。