与えられた数式の値を計算する問題です。数式は次の通りです。 $\frac{1}{2} \{\log_3 \frac{1}{2} - \log_3 (\sqrt[3]{12})^3 - \log_3 (\sqrt{8})^2\}$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算する問題です。数式は次の通りです。

$\frac{1}{2} \{\log_3 \frac{1}{2} - \log_3 (\sqrt[3]{12})^3 - \log_3 (\sqrt{8})^2\}$

2. 解き方の手順

まず、各対数の項を簡略化します。

$\log_3 \frac{1}{2} = \log_3 2^{-1} = - \log_3 2$

$\log_3 (\sqrt[3]{12})^3 = \log_3 12 = \log_3 (3 \cdot 4) = \log_3 3 + \log_3 4 = 1 + \log_3 2^2 = 1 + 2\log_3 2$

$\log_3 (\sqrt{8})^2 = \log_3 8 = \log_3 2^3 = 3 \log_3 2$

これらの結果を元の式に代入します。

$\frac{1}{2} \{-\log_3 2 - (1 + 2\log_3 2) - 3\log_3 2\} = \frac{1}{2} \{-\log_3 2 - 1 - 2\log_3 2 - 3\log_3 2\}$

$= \frac{1}{2} \{-1 - 6\log_3 2\}$

$= -\frac{1}{2} - 3\log_3 2$

$= -\frac{1}{2} - \log_3 2^3$

$= -\frac{1}{2} - \log_3 8$

$= \log_3 3^{-1/2} - \log_3 8 = \log_3 \frac{1}{\sqrt{3}} - \log_3 8$

$= \log_3 \frac{1}{8\sqrt{3}} = \log_3 \frac{\sqrt{3}}{24}$

しかし、より簡単な表現として、$-\frac{1}{2} - 3\log_3 2$ が考えられます。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} - 3\log_3 2$