軸が直線 $x = -2$ で、2点 $(0, 2)$ と $(3, -19)$ を通る2次関数がある。この関数の $x$ の値が1のときの $y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

軸が直線 $x = -2$ で、2点 $(0, 2)$ と $(3, -19)$ を通る2次関数がある。この関数の $x$ の値が1のときの $y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2次関数の式を $y = a(x - h)^2 + k$ とおく。軸が $x = -2$ であるから、$h = -2$ である。よって、

$y = a(x + 2)^2 + k$

この式に、点 $(0, 2)$ と $(3, -19)$ の座標を代入する。

点 $(0, 2)$ を代入すると、

$2 = a(0 + 2)^2 + k$

$2 = 4a + k$ ...(1)

点 $(3, -19)$ を代入すると、

$-19 = a(3 + 2)^2 + k$

$-19 = 25a + k$ ...(2)

(2) - (1) より、

$-21 = 21a$

$a = -1$

(1) に $a = -1$ を代入すると、

$2 = 4(-1) + k$

$k = 6$

したがって、2次関数の式は $y = -(x + 2)^2 + 6$ である。

$x = 1$ のときの $y$ の値を求める。

$y = -(1 + 2)^2 + 6 = -3^2 + 6 = -9 + 6 = -3$

3. 最終的な答え

-3