問題は、いくつかの小問からなる数学の問題です。具体的には、以下の内容が含まれます。 (1) $3x^2 - 2xy - y^2$ を因数分解する。 (2) $x$ は実数とする。$|x| < 1$ は、$x > -2$ であるための何条件か？ (3) $\angle C = 90^\circ$ の直角三角形 ABC において、$AC = 5, BC = 12$ である。$\angle A = \theta$ とするとき、$\tan \theta$ と $\sin \theta$ を求める。 (4) 大人 5 人、子ども 4 人から 3 人を選ぶとき、選んだ 3 人がすべて大人となる選び方と、大人も子どもも含まれる選び方の総数を求める。 (5) 7 つの値からなるデータ $7, 9, 12, 22, 34, a-15, a+1$ において、中央値が 16 であるとき、$a$ の値と四分位範囲を求める。 (6) $\triangle ABC$ において、$AB=11, BC=9, CA=4$ である。$\cos \angle ACB$ の値を求め、辺 $BC$ の $C$ 側の延長線上に点 $D$ を $\triangle ACD$ の外接円の半径が $\frac{9\sqrt{2}}{4}$ となるようにとるとき、線分 $AD$ の長さと線分 $CD$ の長さを求める。

1. 問題の内容

問題は、いくつかの小問からなる数学の問題です。具体的には、以下の内容が含まれます。

(1) $3x^2 - 2xy - y^2$ を因数分解する。

(2) $x$ は実数とする。$|x| < 1$ は、$x > -2$ であるための何条件か？

(3) $\angle C = 90^\circ$ の直角三角形 ABC において、$AC = 5, BC = 12$ である。$\angle A = \theta$ とするとき、$\tan \theta$ と $\sin \theta$ を求める。

(4) 大人 5 人、子ども 4 人から 3 人を選ぶとき、選んだ 3 人がすべて大人となる選び方と、大人も子どもも含まれる選び方の総数を求める。

(5) 7 つの値からなるデータ $7, 9, 12, 22, 34, a-15, a+1$ において、中央値が 16 であるとき、$a$ の値と四分位範囲を求める。

(6) $\triangle ABC$ において、$AB=11, BC=9, CA=4$ である。$\cos \angle ACB$ の値を求め、辺 $BC$ の $C$ 側の延長線上に点 $D$ を $\triangle ACD$ の外接円の半径が $\frac{9\sqrt{2}}{4}$ となるようにとるとき、線分 $AD$ の長さと線分 $CD$ の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 因数分解

$3x^2 - 2xy - y^2$ を因数分解します。これはたすき掛けを使って $(3x + y)(x - y)$ となります。

(2) 必要条件・十分条件

$|x| < 1$ は $-1 < x < 1$ を意味します。$x > -2$ であるための条件を考えます。

$-1 < x < 1$ ならば $x > -2$ は常に成り立つので、$|x| < 1$ は $x > -2$ であるための十分条件です。

しかし、$x > -2$ でも $-1 < x < 1$ が成り立つとは限らないので、必要条件ではありません。

(3) 三角比

$AC = 5, BC = 12$ なので、$AB = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ です。

$\tan \theta = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{5}$

$\sin \theta = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{13}$

(4) 組み合わせ

3人とも大人を選ぶ方法は $_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ 通り。

3人の選び方は全部で $_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ 通り。

大人も子どもも含まれる選び方は、全体の選び方から3人とも大人を選ぶ場合を除けば良いので、$84 - 10 = 74$ 通り。

(5) データ分析

データを小さい順に並べると $a-15, 7, 9, 12, 22, 34, a+1$ となります。

中央値が 16 なので、並び替えた際に真ん中の値が16となります。

$a-15 < 7 < 9 < 12 < 22 < 34 < a+1$とは限りません。

与えられた値を昇順に並べ替えることを考えます。中央値が16なので、中央値は4番目の値です。

中央値が16であるためには、並び替えたデータは、

$a-15, 7, 9, 12, 22, 34, a+1$

または

$7, a-15, 9, 12, 22, 34, a+1$

というパターンが考えられます。

中央値が16なので、$7, 9, 12, a-15, 22, 34, a+1$の場合、データの中央値は12です。

与えられたデータに16が含まれないので、12が中央値になることはありません。

並び替えたデータが、$7, 9, 12, a-15, 22, 34, a+1$のようになることはありません。

並び替えたデータは、 $7, 9, 12, 16, 22, 34, a+1$となることはありません。

$a-15, 7, 9, 12, 22, 34, a+1$というパターンは考えられないので、$a-15$は中央値より小さい値をとり、$a+1$は中央値より大きい値をとります。

$7, 9, 12, 22, 34$の中に$a-15$と$a+1$がどこに入るかを考えます。

$7, 9, 12, 22, 34, a-15, a+1$の場合、並び替えると$a-15, 7, 9, 12, 22, 34, a+1$となり、中央値は12です。

$a-15, a+1, 7, 9, 12, 22, 34$の場合、並び替えると$a-15, a+1, 7, 9, 12, 22, 34$となり、中央値は9です。

$a-15 < 7 < 9 < 12 < 16 < 22 < 34 < a+1$　より、$a-15<16$かつ$a+1>16$

つまり、$a<31$かつ$a>15$

$7, 9, 12, 22, 34, a-15, a+1$のデータを並び替えたときの4番目の値を16とすると、

$a-15 = 13, 14, 15, 16, 17$ より$a$の値は28, 29, 30, 31, 32になります。

$a=28, 29, 30, 31, 32$のとき、中央値は16となるので、aの値は28, 29, 30, 31, 32のいずれかです。

しかし、問題文には中央値が16であることが与えられているので、このデータを並べ替えた4番目の値が16になる必要があります。

$a=31$のとき、データは$7, 9, 12, 22, 34, 16, 32$となります。このデータを並べ替えると、$7, 9, 12, 16, 22, 32, 34$となり、中央値は16です。

したがって、$a=31$です。

データは$7, 9, 12, 22, 34, 16, 32$となります。並べ替えると、$7, 9, 12, 16, 22, 32, 34$となります。

四分位範囲は、第3四分位数 - 第1四分位数で求められます。

第1四分位数は、$\frac{9+12}{2} = 10.5$

第3四分位数は、$\frac{22+32}{2} = 27$

四分位範囲は $27 - 10.5 = 16.5$

(6) 三角形

(1) 余弦定理より、

$\cos \angle ACB = \frac{4^2 + 9^2 - 11^2}{2 \times 4 \times 9} = \frac{16 + 81 - 121}{72} = \frac{-24}{72} = -\frac{1}{3}$

(2) $\triangle ACD$ の外接円の半径が $\frac{9\sqrt{2}}{4}$ であり、正弦定理より、

$\frac{AD}{\sin \angle ACD} = 2 \times \frac{9\sqrt{2}}{4} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$

$\angle ACD = 180^\circ - \angle ACB$ なので、$\sin \angle ACD = \sin (180^\circ - \angle ACB) = \sin \angle ACB$

$\sin^2 \angle ACB + \cos^2 \angle ACB = 1$ なので、$\sin^2 \angle ACB = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin \angle ACB = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

よって、$AD = \frac{9\sqrt{2}}{2} \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{36}{6} = 6$

余弦定理より

$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 AC CD \cos \angle ACD$

$\cos \angle ACD = -\cos \angle ACB = \frac{1}{3}$

$36 = 16 + CD^2 - 2 \times 4 \times CD \times \frac{1}{3}$

$CD^2 - \frac{8}{3}CD - 20=0$

$3CD^2 - 8CD - 60=0$

$CD = \frac{8 \pm \sqrt{64+720}}{6}=\frac{8\pm \sqrt{784}}{6}=\frac{8 \pm 28}{6}$

$CD>0$なので、$CD=6$

3. 最終的な答え

(1) $(3x+y)(x-y)$

(2) 3

(3) $\tan \theta = \frac{12}{5}$, $\sin \theta = \frac{12}{13}$

(4) 10, 74

(5) $a = 31$, 四分位範囲 = 16.5

(6) $\cos \angle ACB = -\frac{1}{3}$, $AD=6, CD=6$