3次方程式 $x^3 - 5x^2 + ax + b = 0$ が $3+2i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 5x^2 + ax + b = 0$ が $3+2i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 3次方程式の係数が実数であるため、$3+2i$ が解ならば、$3-2i$ も解である。

(2) もう一つの解を $\alpha$ とする。

(3) 解と係数の関係より、

* 3つの解の和は、$5$。

* 2つずつの解の積の和は、$a$。

* 3つの解の積は、$-b$。

したがって、

* $(3+2i) + (3-2i) + \alpha = 5$

* $(3+2i)(3-2i) + (3+2i)\alpha + (3-2i)\alpha = a$

* $(3+2i)(3-2i)\alpha = -b$

これらの式から、$a, b, \alpha$ を求める。

まず、3つの解の和から$\alpha$を求める。

$6 + \alpha = 5$

$\alpha = -1$

次に、2つずつの解の積の和から $a$ を求める。

$(3+2i)(3-2i) + (3+2i)(-1) + (3-2i)(-1) = a$

$(9 - (4i^2)) + (-3-2i) + (-3+2i) = a$

$9 + 4 - 3 - 2i - 3 + 2i = a$

$13 - 6 = a$

$a = 7$

最後に、3つの解の積から $b$ を求める。

$(3+2i)(3-2i)(-1) = -b$

$(9+4)(-1) = -b$

$13(-1) = -b$

$-13 = -b$

$b = 13$

3. 最終的な答え

$a = 7$

$b = 13$

他の解は $-1$