実数 $s$ が与えられ、数列 $\{a_n\}$ は $a_1 = s$ および漸化式 $(n+2)a_{n+1} = na_n + 2$ ($n = 1, 2, 3, ...$) で定められる。 (1) $a_n$ を $n$ と $s$ を用いて表せ。 (2) ある正の整数 $m$ に対して $\sum_{n=1}^{m} a_n = 0$ が成り立つとする。$s$ を $m$ を用いて表せ。

## 242番の問題

1. 問題の内容

実数 $s$ が与えられ、数列 $\{a_n\}$ は $a_1 = s$ および漸化式 $(n+2)a_{n+1} = na_n + 2$ ($n = 1, 2, 3, ...$) で定められる。

(1) $a_n$ を $n$ と $s$ を用いて表せ。

(2) ある正の整数 $m$ に対して $\sum_{n=1}^{m} a_n = 0$ が成り立つとする。$s$ を $m$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) $a_n$ を求める。

与えられた漸化式を以下のように変形する。

$(n+2)a_{n+1} = na_n + 2$

$a_{n+1} = \frac{n}{n+2} a_n + \frac{2}{n+2}$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{n(n+1)}$とおくと、

$a_n = n(n+1) b_n$

$a_{n+1} = (n+1)(n+2) b_{n+1}$

漸化式に代入すると、

$(n+1)(n+2) b_{n+1} = \frac{n}{n+2} n(n+1) b_n + \frac{2}{n+2}$

両辺に $n+2$ をかけると、

$(n+1)(n+2)^2 b_{n+1} = n^2(n+1) b_n + 2$

これはうまくいかないので、漸化式を変形する。

$a_{n+1} = \frac{n}{n+2} a_n + \frac{2}{n+2}$

$a_{n+1} - 1 = \frac{n}{n+2} a_n + \frac{2}{n+2} -1$

$a_{n+1} - 1 = \frac{n a_n + 2 - n - 2}{n+2}$

$a_{n+1} - 1 = \frac{n}{n+2} (a_n - 1)$

$c_n = a_n - 1$ とおくと、 $c_{n+1} = \frac{n}{n+2} c_n$

$c_1 = a_1 - 1 = s - 1$

$c_2 = \frac{1}{3} c_1 = \frac{1}{3} (s-1)$

$c_3 = \frac{2}{4} c_2 = \frac{2}{4} \frac{1}{3} (s-1) = \frac{2 \cdot 1}{4 \cdot 3} (s-1) = \frac{2}{12} (s-1) = \frac{1}{6}(s-1)$

$c_n = \frac{n-1}{n+1} c_{n-1} = ... = \frac{(n-1)(n-2)...1}{(n+1)n...(3)} c_1 = \frac{2}{(n+1)n}(s-1)$

したがって、$a_n - 1 = \frac{2(s-1)}{n(n+1)}$

$a_n = 1 + \frac{2(s-1)}{n(n+1)}$

(2) $\sum_{n=1}^{m} a_n = 0$ より、$\sum_{n=1}^{m} \left(1 + \frac{2(s-1)}{n(n+1)}\right) = 0$

$\sum_{n=1}^{m} 1 + 2(s-1) \sum_{n=1}^{m} \frac{1}{n(n+1)} = 0$

$m + 2(s-1) \sum_{n=1}^{m} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 0$

$m + 2(s-1) \left(1 - \frac{1}{m+1}\right) = 0$

$m + 2(s-1) \frac{m}{m+1} = 0$

$m + \frac{2m(s-1)}{m+1} = 0$

$1 + \frac{2(s-1)}{m+1} = 0$ (∵ $m$ は正の整数より $m \ne 0$)

$m+1 + 2(s-1) = 0$

$m+1+2s-2 = 0$

$2s = 1 - m$

$s = \frac{1-m}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 1 + \frac{2(s-1)}{n(n+1)}$

(2) $s = \frac{1-m}{2}$