数列$\{a_n\}$, $\{b_n\}$ が与えられた漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 6b_n$, $b_{n+1} = 2a_n + 3b_n$ (ただし $a_1=1, b_1=1$) を満たすとき、以下の問いに答えます。 (1) $a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta (a_{n+1} - \alpha a_n)$ を満たす定数 $\alpha, \beta$ の組を2組求めます。 (2) $a_n$ を $n$ を用いて表します。
2025/7/8
1. 問題の内容
数列, が与えられた漸化式 , (ただし ) を満たすとき、以下の問いに答えます。
(1) を満たす定数 の組を2組求めます。
(2) を を用いて表します。
2. 解き方の手順
(1)
より、 です。
これを に代入すると、 なので、
となります。
を展開すると、
これと を比較して、
,
これより、 であり、 を代入して 。
よって です。
のとき 。
のとき 。
したがって、。
(2)
のとき、
のとき、
のとき、
とおくと、 となり、 。
のとき、
とおくと、 となり、 。
したがって、 と を引くと、
3. 最終的な答え
(1)
(2)