数列$\{a_n\}$, $\{b_n\}$ が与えられた漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 6b_n$, $b_{n+1} = 2a_n + 3b_n$ (ただし $a_1=1, b_1=1$) を満たすとき、以下の問いに答えます。 (1) $a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta (a_{n+1} - \alpha a_n)$ を満たす定数 $\alpha, \beta$ の組を2組求めます。 (2) $a_n$ を $n$ を用いて表します。

代数学漸化式数列特性方程式一般項
2025/7/8

1. 問題の内容

数列{an}\{a_n\}, {bn}\{b_n\} が与えられた漸化式 an+1=2an+6bna_{n+1} = 2a_n + 6b_n, bn+1=2an+3bnb_{n+1} = 2a_n + 3b_n (ただし a1=1,b1=1a_1=1, b_1=1) を満たすとき、以下の問いに答えます。
(1) an+2αan+1=β(an+1αan)a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta (a_{n+1} - \alpha a_n) を満たす定数 α,β\alpha, \beta の組を2組求めます。
(2) ana_nnn を用いて表します。

2. 解き方の手順

(1)
an+1=2an+6bna_{n+1} = 2a_n + 6b_n より、 bn=16(an+12an)b_n = \frac{1}{6} (a_{n+1} - 2a_n) です。
これを bn+1=2an+3bnb_{n+1} = 2a_n + 3b_n に代入すると、 bn+1=16(an+22an+1)b_{n+1} = \frac{1}{6}(a_{n+2} - 2a_{n+1}) なので、
16(an+22an+1)=2an+316(an+12an)\frac{1}{6} (a_{n+2} - 2a_{n+1}) = 2a_n + 3 \cdot \frac{1}{6} (a_{n+1} - 2a_n)
an+22an+1=12an+3an+16ana_{n+2} - 2a_{n+1} = 12a_n + 3a_{n+1} - 6a_n
an+2=5an+1+6ana_{n+2} = 5a_{n+1} + 6a_n
となります。
an+2αan+1=β(an+1αan)a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta (a_{n+1} - \alpha a_n) を展開すると、
an+2=(α+β)an+1αβana_{n+2} = (\alpha+\beta)a_{n+1} - \alpha \beta a_n
これと an+2=5an+1+6ana_{n+2} = 5a_{n+1} + 6a_n を比較して、
α+β=5\alpha + \beta = 5, αβ=6-\alpha \beta = 6
これより、αβ=6\alpha \beta = -6 であり、β=5α\beta = 5 - \alpha を代入して α(5α)=6\alpha(5-\alpha) = -6
α25α6=0\alpha^2 - 5\alpha - 6 = 0
(α6)(α+1)=0(\alpha - 6)(\alpha + 1) = 0
よって α=6,1\alpha = 6, -1 です。
α=6\alpha = 6 のとき β=56=1\beta = 5 - 6 = -1
α=1\alpha = -1 のとき β=5(1)=6\beta = 5 - (-1) = 6
したがって、(α,β)=(6,1),(1,6)(\alpha, \beta) = (6, -1), (-1, 6)
(2)
(α,β)=(6,1)(\alpha, \beta) = (6, -1) のとき、 an+26an+1=1(an+16an)a_{n+2} - 6a_{n+1} = -1(a_{n+1} - 6a_n)
an+26an+1=(an+16an)a_{n+2} - 6a_{n+1} = -(a_{n+1} - 6a_n)
an+26an+1=an+1+6ana_{n+2} - 6a_{n+1} = -a_{n+1} + 6a_n
an+2=5an+1+6ana_{n+2} = 5a_{n+1} + 6a_n
(α,β)=(1,6)(\alpha, \beta) = (-1, 6) のとき、 an+2+an+1=6(an+1+an)a_{n+2} + a_{n+1} = 6(a_{n+1} + a_n)
an+2+an+1=6an+1+6ana_{n+2} + a_{n+1} = 6a_{n+1} + 6a_n
an+2=5an+1+6ana_{n+2} = 5a_{n+1} + 6a_n
α=6,β=1\alpha = 6, \beta = -1 のとき、 an+26an+1=(an+16an)a_{n+2} - 6a_{n+1} = -(a_{n+1} - 6a_n)
cn=an+16anc_n = a_{n+1} - 6a_n とおくと、 cn+1=cnc_{n+1} = -c_n となり、 c1=a26a1=(2a1+6b1)6a1=2+66=2c_1 = a_2 - 6a_1 = (2a_1 + 6b_1) - 6a_1 = 2+6-6 = 2
cn=2(1)n1c_n = 2(-1)^{n-1}
an+16an=2(1)n1a_{n+1} - 6a_n = 2(-1)^{n-1}
α=1,β=6\alpha = -1, \beta = 6 のとき、 an+2+an+1=6(an+1+an)a_{n+2} + a_{n+1} = 6(a_{n+1} + a_n)
dn=an+1+and_n = a_{n+1} + a_n とおくと、 dn+1=6dnd_{n+1} = 6d_n となり、 d1=a2+a1=8+1=9d_1 = a_2 + a_1 = 8+1 = 9
dn=9(6)n1d_n = 9(6)^{n-1}
an+1+an=9(6)n1a_{n+1} + a_n = 9(6)^{n-1}
したがって、 an+16an=2(1)n1a_{n+1} - 6a_n = 2(-1)^{n-1}an+1+an=9(6)n1a_{n+1} + a_n = 9(6)^{n-1} を引くと、
7an=2(1)n19(6)n1-7a_n = 2(-1)^{n-1} - 9(6)^{n-1}
an=9(6)n12(1)n17a_n = \frac{9(6)^{n-1} - 2(-1)^{n-1}}{7}

3. 最終的な答え

(1) (α,β)=(6,1),(1,6)(\alpha, \beta) = (6, -1), (-1, 6)
(2) an=96n12(1)n17a_n = \frac{9 \cdot 6^{n-1} - 2 \cdot (-1)^{n-1}}{7}