$a$ は正の定数であるとき、関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ の $0 \leq x \leq a$ における最大値を求める。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数であるとき、関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ の $0 \leq x \leq a$ における最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 2x + 1 = -(x^2 - 2x) + 1 = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = -(x-1)^2 + 1 + 1 = -(x-1)^2 + 2$

したがって、$y = -(x-1)^2 + 2$ となります。これは、頂点が $(1, 2)$ で、上に凸な放物線です。

次に、定義域 $0 \leq x \leq a$ における最大値を考えます。

* $0 < a < 1$ のとき、区間 $[0, a]$ で $x$ が大きくなるほど $y$ も大きくなるので、$x = a$ で最大値をとります。

最大値は $y = -a^2 + 2a + 1$ です。

* $a = 1$ のとき、$x = 1$ で最大値をとります。

最大値は $y = 2$ です。

* $1 < a$ のとき、軸 $x = 1$ が区間 $[0, a]$ に含まれるので、$x = 1$ で最大値をとります。

最大値は $y = 2$ です。

場合分けをまとめると、

* $0 < a \leq 1$ のとき、最大値は $-a^2 + 2a + 1$

* $1 < a$ のとき、最大値は $2$

3. 最終的な答え

$0 < a \leq 1$ のとき、最大値は $-a^2 + 2a + 1$

$1 < a$ のとき、最大値は $2$