3次方程式 $2x^3 + 3x^2 - 12x - 2 = 0$ の実数解の個数と、それぞれの符号を調べます。

1. 問題の内容

3次方程式 $2x^3 + 3x^2 - 12x - 2 = 0$ の実数解の個数と、それぞれの符号を調べます。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 2$ を定義します。この関数のグラフを描き、x軸との交点の数を調べることで、実数解の個数を求めることができます。

1. 導関数を計算します。

$f'(x) = 6x^2 + 6x - 12 = 6(x^2 + x - 2) = 6(x+2)(x-1)$

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$6(x+2)(x-1) = 0$ より、$x = -2, 1$

3. 増減表を作成します。

| x | ... | -2 | ... | 1 | ... |

| :----- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ |

4. 極大値と極小値を計算します。

$f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2) - 2 = -16 + 12 + 24 - 2 = 18$

$f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) - 2 = 2 + 3 - 12 - 2 = -9$

5. グラフの概形を考えます。

$x \to -\infty$ のとき $f(x) \to -\infty$

$x \to \infty$ のとき $f(x) \to \infty$

極大値が$18$ ($x=-2$), 極小値が$-9$ ($x=1$) であり、$f(x)$ は3次関数なので、$x$軸と3回交わることがわかります。つまり、実数解は3個です。

6. $f(0) = -2 < 0$ であることから、実数解は、負、正、正　であることがわかります。

7. $f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 -12(-3) -2 = -54 + 27 + 36 -2 = 7 > 0$ なので、負の解は$-3$と$-2$の間にあります。

3. 最終的な答え

実数解の個数は3個です。

符号は、負1個、正2個です。