2次関数 $f(x) = x^2 - 2x - a^2 - a + 11$ が与えられている。ただし、$a$は正の定数である。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。 (2) $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に3, $y$ 軸方向に-4だけ平行移動したグラフを表す関数を $y = g(x)$ とする。$y = g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。また、$g(x)$ の最小値が4であるとき、$a$ の値を求める。 (3) $a$ を(2)で求めた値とし、$t$ を正の定数とする。$0 \le x \le t$ における $f(x)$ の最大値を $M$ とする。$M$ を求める。また、(2)の $g(x)$ について、$0 \le x \le t$ における $g(x)$ の最小値を $m$ とする。$M + m = 25$ となるような $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2x - a^2 - a + 11$ が与えられている。ただし、$a$は正の定数である。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。

(2) $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に3, $y$ 軸方向に-4だけ平行移動したグラフを表す関数を $y = g(x)$ とする。$y = g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。また、$g(x)$ の最小値が4であるとき、$a$ の値を求める。

(3) $a$ を(2)で求めた値とし、$t$ を正の定数とする。$0 \le x \le t$ における $f(x)$ の最大値を $M$ とする。$M$ を求める。また、(2)の $g(x)$ について、$0 \le x \le t$ における $g(x)$ の最小値を $m$ とする。$M + m = 25$ となるような $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成して、頂点の座標を求める。

$f(x) = x^2 - 2x - a^2 - a + 11 = (x - 1)^2 - 1 - a^2 - a + 11 = (x - 1)^2 - a^2 - a + 10$

よって、$y = f(x)$ の頂点の座標は $(1, -a^2 - a + 10)$

(2) $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に3, $y$ 軸方向に-4だけ平行移動すると、

$y = (x - 3)^2 - 2(x - 3) - a^2 - a + 11 - 4 = (x - 3)^2 - 2(x - 3) - a^2 - a + 7$

$g(x) = (x - 3)^2 - 2(x - 3) - a^2 - a + 7 = x^2 - 6x + 9 - 2x + 6 - a^2 - a + 7 = x^2 - 8x + 22 - a^2 - a$

$g(x) = (x - 4)^2 - 16 + 22 - a^2 - a = (x - 4)^2 + 6 - a^2 - a$

よって、$y = g(x)$ の頂点の座標は $(4, 6 - a^2 - a)$

$g(x)$ の最小値は $6 - a^2 - a = 4$ であるから、$a^2 + a - 2 = 0$

$(a + 2)(a - 1) = 0$

$a$ は正の定数なので、$a = 1$

(3) $a = 1$ のとき、$f(x) = x^2 - 2x - 1^2 - 1 + 11 = x^2 - 2x + 9 = (x - 1)^2 + 8$

$0 \le x \le t$ における $f(x)$ の最大値 $M$ は、軸 $x = 1$ から最も遠い点での値を取る。

$f(0) = 9$

$f(t) = t^2 - 2t + 9$

$t \le 2$ のとき、$M = f(0) = 9$

$t > 2$ のとき、$M = f(t) = t^2 - 2t + 9$

$g(x) = (x - 4)^2 + 6 - 1^2 - 1 = (x - 4)^2 + 4$

$0 \le x \le t$ における $g(x)$ の最小値 $m$ は、軸 $x = 4$ から最も近い点での値を取る。

$t \le 4$ のとき、$m = g(t) = (t - 4)^2 + 4 = t^2 - 8t + 20$

$t > 4$ のとき、$m = g(4) = 4$

$t \le 2$ のとき、$M = 9$, $t \le 4$ のとき、$m = t^2 - 8t + 20$ なので、$t \le 2$ のとき $m = (t - 4)^2 + 4 = t^2 - 8t + 20$。

$M + m = 9 + t^2 - 8t + 20 = t^2 - 8t + 29 = 25$

$t^2 - 8t + 4 = 0$

$t = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}$

$t \le 2$ より、$t = 4 - 2\sqrt{3}$

$2 < t \le 4$ のとき、$M = t^2 - 2t + 9$

$M + m = t^2 - 2t + 9 + t^2 - 8t + 20 = 2t^2 - 10t + 29 = 25$

$2t^2 - 10t + 4 = 0$

$t^2 - 5t + 2 = 0$

$t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$

$2 < \frac{5 - \sqrt{17}}{2} \approx 0.438 < 4$

$2 < \frac{5 + \sqrt{17}}{2} \approx 4.561 < 4$

$t = (5 - \sqrt{17})/2$

$t > 4$ のとき、$M = t^2 - 2t + 9$, $m = 4$

$M + m = t^2 - 2t + 9 + 4 = t^2 - 2t + 13 = 25$

$t^2 - 2t - 12 = 0$

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{13}}{2} = 1 \pm \sqrt{13}$

$t > 4$ より、$t = 1 + \sqrt{13}$

3. 最終的な答え

(1) $(1, -a^2 - a + 10)$

(2) $(4, 6 - a^2 - a)$, $a = 1$

(3) $t = 1 + \sqrt{13}$