数列 $\{a_n\}$ があり、$a_1 = 1$ と漸化式 $2a_{n+1} = a_n + 2$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) を満たすとき、この数列の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ があり、$a_1 = 1$ と漸化式 $2a_{n+1} = a_n + 2$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) を満たすとき、この数列の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を変形する。

$2a_{n+1} = a_n + 2$ より、

$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1$

この漸化式は、等比数列の形に変形できる。$a_{n+1} - \alpha = \frac{1}{2}(a_n - \alpha)$ となるような $\alpha$ を求める。

$a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n - \frac{1}{2} \alpha + \alpha = \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{2} \alpha$

よって、$1 = \frac{1}{2} \alpha$ なので、$\alpha = 2$ となる。

したがって、

$a_{n+1} - 2 = \frac{1}{2} (a_n - 2)$

数列 $\{a_n - 2\}$ は、初項 $a_1 - 2 = 1 - 2 = -1$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。

よって、

$a_n - 2 = (a_1 - 2) (\frac{1}{2})^{n-1} = -1 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = -(\frac{1}{2})^{n-1}$

$a_n = 2 - (\frac{1}{2})^{n-1} = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$

$a_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}} = 2 - \frac{2}{2^n} = 2 - 2^{1-n}$

3. 最終的な答え

$a_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$ または $a_n = 2 - 2^{1-n}$