数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_n + 2$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) という条件で定められている。また、数列$\{b_n\}$が$b_n = a_{n+1} - a_n$で定義されている。数列$\{b_n\}$の一般項と数列$\{a_n\}$の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_n + 2$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) という条件で定められている。また、数列$\{b_n\}$が$b_n = a_{n+1} - a_n$で定義されている。数列$\{b_n\}$の一般項と数列$\{a_n\}$の一般項を求める。

2. 解き方の手順

まず、数列$\{b_n\}$の一般項を求める。$b_n = a_{n+1} - a_n$なので、$b_1 = a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1$である。

与えられた漸化式 $a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_n + 2$ を変形すると、

$a_{n+2} - a_{n+1} = a_{n+1} - a_n + 2$

となる。ここで、$b_{n+1} = a_{n+2} - a_{n+1}$、$b_n = a_{n+1} - a_n$なので、

$b_{n+1} = b_n + 2$

となる。これは、数列$\{b_n\}$が初項$b_1 = 1$, 公差2の等差数列であることを示している。したがって、数列$\{b_n\}$の一般項は、

$b_n = b_1 + (n-1) \cdot 2 = 1 + (n-1) \cdot 2 = 2n - 1$

となる。

次に、数列$\{a_n\}$の一般項を求める。$b_n = a_{n+1} - a_n$なので、

$a_{n+1} = a_n + b_n = a_n + 2n - 1$

である。この式を変形すると、

$a_{n+1} - a_n = 2n - 1$

となる。したがって、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 1) = 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

ここで、$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$、$\sum_{k=1}^{n-1} 1 = n-1$なので、

$a_n = 1 + 2\cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = 1 + n(n-1) - (n-1) = 1 + n^2 - n - n + 1 = n^2 - 2n + 2$

となる。

3. 最終的な答え

数列$\{b_n\}$の一般項は $2n-1$である。

数列$\{a_n\}$の一般項は $n^2 - 2n + 2$である。