$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 1 = (x - 2)^2 - 4 + 1 = (x - 2)^2 - 3$

この関数のグラフは下に凸の放物線で、軸は $x = 2$ です。

定義域は $0 \le x \le a$ です。

軸の位置と定義域の端点の位置関係によって、最大値を取る場所が変わります。場合分けをして考えます。

(i) $0 < a < 2$ のとき:

定義域は $0 \le x \le a$ であり、軸 $x = 2$ は定義域の外にあります。

この場合、定義域の左端 $x = 0$ で最大値を取ります。

$y(0) = 0^2 - 4(0) + 1 = 1$

したがって、最大値は1です。

(ii) $a = 2$ のとき:

定義域は $0 \le x \le 2$ であり、軸 $x = 2$ は定義域の右端にあります。

この場合も、定義域の左端 $x = 0$ で最大値を取ります。

$y(0) = 0^2 - 4(0) + 1 = 1$

したがって、最大値は1です。

(iii) $a > 2$ のとき:

定義域は $0 \le x \le a$ であり、軸 $x = 2$ は定義域の中にあります。

この場合、定義域の左端 $x = 0$ と右端 $x = a$ のどちらかで最大値を取ります。

$y(0) = 1$

$y(a) = a^2 - 4a + 1$

$y(a) > y(0)$ となるのは $a^2 - 4a + 1 > 1$、すなわち $a^2 - 4a > 0$、$a(a - 4) > 0$ のときです。

$a > 2$ より、$a - 4 > 0$、つまり $a > 4$ のとき、$y(a) > y(0)$ となります。

したがって、$2 < a \le 4$ のとき、最大値は1であり、$a > 4$ のとき、最大値は $a^2 - 4a + 1$ です。

まとめると、

$0 < a \le 4$ のとき、最大値は1です。

$a > 4$ のとき、最大値は $a^2 - 4a + 1$ です。

3. 最終的な答え

$0 < a \le 4$ のとき、最大値: 1

$a > 4$ のとき、最大値: $a^2 - 4a + 1$