(1) $x^2 + ax + b$ を $x-1$ で割った余りが 4 であり、$x-4$ で割った余りが -2 であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。 (2) $ax^3 - 5x^2 - 16x + b$ が $(x-1)(2x-3)$ で割り切れるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $x^2 + ax + b$ を $x-1$ で割った余りが 4 であり、$x-4$ で割った余りが -2 であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

(2) $ax^3 - 5x^2 - 16x + b$ が $(x-1)(2x-3)$ で割り切れるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 剰余の定理より、

$x^2 + ax + b$ を $x-1$ で割った余りは、$x = 1$ を代入したときの値であるから、

$1^2 + a(1) + b = 1 + a + b = 4$

よって、$a + b = 3$ ...(1)

$x^2 + ax + b$ を $x-4$ で割った余りは、$x = 4$ を代入したときの値であるから、

$4^2 + a(4) + b = 16 + 4a + b = -2$

よって、$4a + b = -18$ ...(2)

(2) - (1) より、

$3a = -21$

$a = -7$

(1) に代入して、$(-7) + b = 3$

$b = 10$

(2) $ax^3 - 5x^2 - 16x + b$ が $(x-1)(2x-3)$ で割り切れるので、$x-1$ と $2x-3$ で割り切れる。

剰余の定理より、$x = 1$ を代入したときの値は 0 なので、

$a(1)^3 - 5(1)^2 - 16(1) + b = a - 5 - 16 + b = 0$

よって、$a + b = 21$ ...(3)

$2x-3 = 0$ より、$x = \frac{3}{2}$ を代入したときの値も 0 なので、

$a(\frac{3}{2})^3 - 5(\frac{3}{2})^2 - 16(\frac{3}{2}) + b = 0$

$a(\frac{27}{8}) - 5(\frac{9}{4}) - 24 + b = 0$

$\frac{27}{8}a - \frac{45}{4} - 24 + b = 0$

$\frac{27}{8}a + b = \frac{45}{4} + 24 = \frac{45 + 96}{4} = \frac{141}{4}$

$27a + 8b = 282$ ...(4)

(4) - (3) * 8 より、

$27a + 8b - 8a - 8b = 282 - 21 * 8$

$19a = 282 - 168 = 114$

$a = 6$

(3) に代入して、$6 + b = 21$

$b = 15$

3. 最終的な答え

(1) $a = -7, b = 10$

(2) $a = 6, b = 15$