2次方程式 $x^2 + 7x + 1 = 0$ を平方完成を用いて解く手順の空欄を埋める問題です。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、1番の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 7x + 1 = 0$ を平方完成を用いて解く手順の空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形します。

$x^2 + 7x = -1$

次に、左辺を平方完成します。$x$ の係数である 7 の半分である $\frac{7}{2}$ を使い、両辺に $(\frac{7}{2})^2$ を加えます。

$x^2 + 7x + (\frac{7}{2})^2 = -1 + (\frac{7}{2})^2$

$x^2 + 7x + \frac{49}{4} = -1 + \frac{49}{4}$

これで左辺は $(x + \frac{7}{2})^2$ となり、右辺は通分して計算できます。

$(x + \frac{7}{2})^2 = \frac{-4}{4} + \frac{49}{4}$

$(x + \frac{7}{2})^2 = \frac{45}{4}$

次に、両辺の平方根を取ります。

$x + \frac{7}{2} = \pm \sqrt{\frac{45}{4}}$

$x + \frac{7}{2} = \pm \frac{\sqrt{45}}{2}$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$ なので、

$x + \frac{7}{2} = \pm \frac{3\sqrt{5}}{2}$

最後に、$x$ について解きます。

$x = -\frac{7}{2} \pm \frac{3\sqrt{5}}{2}$

$x = \frac{-7 \pm 3\sqrt{5}}{2}$

したがって、空欄を埋めると以下のようになります。

① $\frac{49}{4}$

② $\frac{7}{2}$

③ $\frac{45}{4}$

④ $\frac{3\sqrt{5}}{2}$

⑤ $\frac{-7 \pm 3\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

① $\frac{49}{4}$

② $\frac{7}{2}$

③ $\frac{45}{4}$

④ $\frac{3\sqrt{5}}{2}$

⑤ $\frac{-7 \pm 3\sqrt{5}}{2}$