問題6は2次関数$f(x)=x^2+2ax+b$に関する問題で、以下の小問があります。ただし、$a,b$は実数、$a>0$とする。 (1) $b$を$a$を用いて表す。 (2) $y=f(x)$のグラフの頂点が直線$y=x+1$上にあるとき、$a$の値を求める。 (3) (2)のとき、負の定数$p$について、$p \le x \le 0$における関数$f(x)$の最大値と最小値の差が$-2p$となるような$p$の値を求める。 問題7は2次方程式$x^2+2x-4=0 \cdots ①$に関する問題で、以下の小問があります。 (1) 方程式①を解く。 (2) 方程式①の解のうち正のものを$a$とするとき、1次不等式$(a+1)x > 2a+7 \cdots ②$を解く。

はい、承知しました。

1. 問題の内容

問題6は2次関数$f(x)=x^2+2ax+b$に関する問題で、以下の小問があります。ただし、$a,b$は実数、$a>0$とする。

(1) $b$を$a$を用いて表す。

(2) $y=f(x)$のグラフの頂点が直線$y=x+1$上にあるとき、$a$の値を求める。

(3) (2)のとき、負の定数$p$について、$p \le x \le 0$における関数$f(x)$の最大値と最小値の差が$-2p$となるような$p$の値を求める。

問題7は2次方程式$x^2+2x-4=0 \cdots ①$に関する問題で、以下の小問があります。

(1) 方程式①を解く。

(2) 方程式①の解のうち正のものを$a$とするとき、1次不等式$(a+1)x > 2a+7 \cdots ②$を解く。

2. 解き方の手順

問題6

(1) $f(x)=x^2+2ax+b$のグラフが点$(1,8)$を通るので、

$f(1) = 1^2 + 2a(1) + b = 8$

$1 + 2a + b = 8$

よって、$b = 7 - 2a$

(2) $f(x) = x^2 + 2ax + (7-2a)$を平方完成すると、

$f(x) = (x+a)^2 - a^2 + 7 - 2a$

よって、頂点の座標は $(-a, -a^2 + 7 - 2a)$。

この頂点が直線$y = x+1$上にあるので、

$-a^2 + 7 - 2a = -a + 1$

$-a^2 - a + 6 = 0$

$a^2 + a - 6 = 0$

$(a+3)(a-2) = 0$

$a = -3, 2$

$a > 0$より、$a = 2$

(3) $a = 2$のとき、$f(x) = x^2 + 4x + 3 = (x+2)^2 - 1$。

定義域$p \le x \le 0$における$f(x)$の最大値と最小値を考える。

軸は$x = -2$なので、$p \le x \le 0$で軸を含むかどうかで場合分けする。

(i) $p \le -2$のとき、最小値は$f(-2) = -1$, 最大値は$f(p) = p^2+4p+3$.

$f(p) - f(-2) = (p^2+4p+3) - (-1) = p^2+4p+4 = (p+2)^2$

$(p+2)^2 = -2p$

$p^2+4p+4+2p = 0$

$p^2+6p+4=0$

$p = \frac{-6 \pm \sqrt{36-16}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{20}}{2} = -3 \pm \sqrt{5}$

$p \le -2$なので、$p = -3 - \sqrt{5}$.

(ii) $-2 < p \le 0$のとき、最小値は$f(-2) = -1$, 最大値は$f(0) = 3$.

$f(0) - f(-2) = 3 - (-1) = 4$

$4 = -2p$

$p = -2$

これは $-2 < p \le 0$を満たさない。

したがって、$p = -3 - \sqrt{5}$.

問題7

(1) $x^2+2x-4 = 0$を解く。

解の公式より、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$

(2) $a = -1 + \sqrt{5}$のとき、不等式$(a+1)x > 2a+7$を解く。

$(a+1) = (-1+\sqrt{5})+1 = \sqrt{5}$

$2a+7 = 2(-1+\sqrt{5})+7 = -2+2\sqrt{5}+7 = 5+2\sqrt{5}$

$\sqrt{5}x > 5+2\sqrt{5}$

$x > \frac{5+2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}+10}{5} = \sqrt{5}+2$

$x > 2 + \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

問題6

(1) $b = 7 - 2a$

(2) $a = 2$

(3) $p = -3 - \sqrt{5}$

問題7

(1) $x = -1 \pm \sqrt{5}$

(2) $x > 2 + \sqrt{5}$