与えられた式を計算する問題です。式は $\frac{1}{2} (\log_3 \frac{1}{2} - \log_3(12) - \log_3 8))$ です。

1. 問題の内容

与えられた式を計算する問題です。式は

$\frac{1}{2} (\log_3 \frac{1}{2} - \log_3(12) - \log_3 8))$

です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて式を簡略化します。

$\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$

の性質を利用します。

与えられた式は

$\frac{1}{2} (\log_3 \frac{1}{2} - \log_3(12) - \log_3 8))$

なので、これを整理すると、

$\frac{1}{2} (\log_3 \frac{1}{2} - (\log_3(12) + \log_3 8))$

$\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$

の性質を利用して

$\frac{1}{2} (\log_3 \frac{1}{2} - \log_3(12 \times 8))$

$\frac{1}{2} (\log_3 \frac{1}{2} - \log_3(96))$

$\frac{1}{2} (\log_3 (\frac{1}{2} / 96))$

$\frac{1}{2} (\log_3 (\frac{1}{2 \times 96}))$

$\frac{1}{2} (\log_3 (\frac{1}{192}))$

ここで、底の変換公式を利用します。

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

$\frac{1}{2} \log_3 (\frac{1}{192}) = \frac{1}{2} \frac{\ln (\frac{1}{192})}{\ln 3}$

$\frac{1}{2} \frac{\ln (1) - \ln(192)}{\ln 3} = \frac{1}{2} \frac{- \ln(192)}{\ln 3}$

$192 = 64 \times 3 = 2^6 \times 3$

$\frac{1}{2} \frac{- (\ln (2^6) + \ln 3)}{\ln 3}$

$\frac{1}{2} \frac{- (6 \ln 2 + \ln 3)}{\ln 3}$

$\frac{1}{2} (-6 \frac{\ln 2}{\ln 3} - 1)$

$-\frac{3 \ln 2}{\ln 3} - \frac{1}{2} = -3 \log_3 2 - \frac{1}{2}$

画像からの式を正確に判断できないため、画像の式に基づいて計算を進めます。

与えられた式は

$\frac{1}{2} (\log_3 \frac{1}{2} - \log_3(12 - \log_3 8))$

$\log_3 8 = \log_3 2^3 = 3 \log_3 2$

$\frac{1}{2} (\log_3 \frac{1}{2} - \log_3(12 - 3 \log_3 2))$

ここで、$\log_3 2$ を正確な値として扱うことは難しいので、近似値を使うか、このままにしておきます。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} (\log_3 \frac{1}{2} - \log_3(12 - 3 \log_3 2))$

あるいは

$-3 \log_3 2 - \frac{1}{2}$

どちらかが答えです。

最初の問題の解釈で解くと、$-3\log_3 2 - \frac{1}{2}$がより可能性の高い回答です。