与えられた数式の値を計算します。数式は次の通りです。 $\frac{1}{2} \left( \log_3 \frac{1}{2} - (\log_3 \sqrt{2} - \log_3 8) \right)$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は次の通りです。

$\frac{1}{2} \left( \log_3 \frac{1}{2} - (\log_3 \sqrt{2} - \log_3 8) \right)$

2. 解き方の手順

まず、括弧の中を計算します。対数の性質を用いて、 $\log_3 \sqrt{2} - \log_3 8$ を簡単にします。

$\log_3 \sqrt{2} - \log_3 8 = \log_3 \frac{\sqrt{2}}{8}$

次に、$\sqrt{2} = 2^{1/2}$ と $8=2^3$ を用いて、$\frac{\sqrt{2}}{8}$を簡単にします。

$\frac{\sqrt{2}}{8} = \frac{2^{1/2}}{2^3} = 2^{1/2 - 3} = 2^{-5/2} = \frac{1}{2^{5/2}} = \frac{1}{\sqrt{2^5}} = \frac{1}{\sqrt{32}} = \frac{1}{4\sqrt{2}}$

したがって、$\log_3 \sqrt{2} - \log_3 8 = \log_3 (2^{-5/2}) = \log_3 \frac{1}{4\sqrt{2}}$

元の式に代入すると、

$\frac{1}{2} \left( \log_3 \frac{1}{2} - \log_3 \frac{\sqrt{2}}{8} \right) = \frac{1}{2} \left( \log_3 \frac{1}{2} - \log_3 (2^{-5/2}) \right)$

対数の性質 $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$ を用いると、

$\frac{1}{2} \left( \log_3 \frac{1/2}{2^{-5/2}} \right) = \frac{1}{2} \left( \log_3 \frac{2^{-1}}{2^{-5/2}} \right) = \frac{1}{2} \left( \log_3 2^{-1+5/2} \right) = \frac{1}{2} \log_3 2^{3/2}$

対数の性質 $\log_a x^r = r \log_a x$ を用いると、

$\frac{1}{2} \log_3 2^{3/2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \log_3 2 = \frac{3}{4} \log_3 2$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4} \log_3 2$