与えられた数 $a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ に対して、 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にすること。 (2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求め、さらに $a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めること。 (3) $\frac{a^4 - \frac{16}{a^4}}{a^2 - \frac{8}{a^2} - 1}$ の値を求めること。

1. 問題の内容

与えられた数 $a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ に対して、

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にすること。

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求め、さらに $a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めること。

(3) $\frac{a^4 - \frac{16}{a^4}}{a^2 - \frac{8}{a^2} - 1}$ の値を求めること。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。

$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ の分母を有理化するために、$3\sqrt{2} + \sqrt{10}$ を分母と分子にかける。

$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}} \times \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{3\sqrt{2} + \sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2}$

$a = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a}$ を計算する。

$\frac{2}{a} = \frac{2}{\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}$

$\frac{2}{a} = \frac{4}{3\sqrt{2} + \sqrt{10}} \times \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

次に、$a^2 + \frac{4}{a^2}$ を計算する。

$a^2 + \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{2}{a} = (a + \frac{2}{a})^2 - 4 = (3\sqrt{2})^2 - 4 = 18 - 4 = 14$

(3) $\frac{a^4 - \frac{16}{a^4}}{a^2 - \frac{8}{a^2} - 1}$ の値を計算する。

$\frac{a^4 - \frac{16}{a^4}}{a^2 - \frac{4}{a^2} - 2} = \frac{(a^2 - \frac{4}{a^2})(a^2 + \frac{4}{a^2})}{(a^2 - \frac{4}{a^2})-1} = \frac{(a^2 - \frac{4}{a^2})(14)}{a^2-\frac{4}{a^2} - 2}$

$a^2 - \frac{4}{a^2} = (a+\frac{2}{a})(a-\frac{2}{a}) = 3\sqrt{2} * (\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} - \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}) = 3\sqrt{2} * \sqrt{10} = 3 \sqrt{20} = 3 * 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$

$\frac{a^4 - \frac{16}{a^4}}{a^2-\frac{8}{a^2}-1} = \frac{(a^2-\frac{4}{a^2})(a^2+\frac{4}{a^2})}{(a^2-\frac{4}{a^2})^2} = \frac{(6\sqrt{5})(14)}{(6\sqrt{5}) - \frac{4}{a^2}} = \frac{6 \sqrt{5} *(14)}{(6\sqrt{5})} =$

$\frac{a^4 - \frac{16}{a^4}}{a^2 - \frac{8}{a^2} -1} = \frac{(a^2 + \frac{4}{a^2})(a^2-\frac{4}{a^2})}{(a^2 - \frac{4}{a^2})^2}= 14$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$, $a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$

(3) $\frac{a^4 - \frac{16}{a^4}}{a^2 - \frac{4}{a^2}} = \frac{(14)(6\sqrt{5})}{36}=14$

$\frac{a^4 - \frac{16}{a^4}}{a^2 - \frac{8}{a^2} - 1} = 14$.

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