$x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ のとき、以下の値を求める問題です。 (1) $\frac{1}{x}$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ (4) $x^5 + \frac{1}{x^5}$

1. 問題の内容

$x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ のとき、以下の値を求める問題です。

(1) $\frac{1}{x}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

(4) $x^5 + \frac{1}{x^5}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{x}$ の値を求める。

$x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ なので、$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$。

分母の有理化を行う。

$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求める。

$x + \frac{1}{x} = (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = (2\sqrt{3})^2 - 2 = 4 \cdot 3 - 2 = 12 - 2 = 10$

(3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ の値を求める。

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$

$= (2\sqrt{3})^3 - 3(2\sqrt{3}) = 8 \cdot 3\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 24\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$

(4) $x^5 + \frac{1}{x^5}$ の値を求める。

$x^5 + \frac{1}{x^5} = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x^3 + \frac{1}{x^3}) - (x + \frac{1}{x})$

$= 10 \cdot 18\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 180\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 178\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

(2) $10$

(3) $18\sqrt{3}$

(4) $178\sqrt{3}$