次の4つの2次不等式を解きます。 (1) $x^2 - 3x + 5 > 0$ (2) $-x^2 + x - 1 \ge 0$ (3) $3x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 \le 0$ (4) $x^2 - 3x + 2 > 2x^2 - x$

1. 問題の内容

次の4つの2次不等式を解きます。

(1) $x^2 - 3x + 5 > 0$

(2) $-x^2 + x - 1 \ge 0$

(3) $3x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 \le 0$

(4) $x^2 - 3x + 2 > 2x^2 - x$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 3x + 5 > 0$

判別式を計算します。

$D = (-3)^2 - 4(1)(5) = 9 - 20 = -11 < 0$

$x^2$ の係数が正なので、常に $x^2 - 3x + 5 > 0$ が成り立ちます。

(2) $-x^2 + x - 1 \ge 0$

両辺に $-1$ をかけます。

$x^2 - x + 1 \le 0$

判別式を計算します。

$D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0$

$x^2$ の係数が正なので、常に $x^2 - x + 1 > 0$ が成り立ちます。したがって、$x^2 - x + 1 \le 0$ となる $x$ は存在しません。

(3) $3x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 \le 0$

$3x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = (\sqrt{3}x - 1)^2$ なので、

$(\sqrt{3}x - 1)^2 \le 0$ となります。

二乗の項が0以下になるのは0の場合のみなので、

$\sqrt{3}x - 1 = 0$

$\sqrt{3}x = 1$

$x = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(4) $x^2 - 3x + 2 > 2x^2 - x$

$0 > x^2 + 2x - 2$

$x^2 + 2x - 2 < 0$

$x^2 + 2x - 2 = 0$ を解の公式で解くと、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$

したがって、$x^2 + 2x - 2 < 0$ の解は $-1 - \sqrt{3} < x < -1 + \sqrt{3}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) すべての実数

(2) 解なし

(3) $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(4) $-1 - \sqrt{3} < x < -1 + \sqrt{3}$