$a$ を実数とする。「任意の自然数 $n$ に対し常に $a|m-n| < 0$ を満たす自然数 $m$ が存在する」は、$a < 0$ であるための何条件かを答える問題。選択肢は「必要条件」、「十分条件」、「必要十分条件」、「どれでもない」。

1. 問題の内容

$a$ を実数とする。「任意の自然数 $n$ に対し常に $a|m-n| < 0$ を満たす自然数 $m$ が存在する」は、$a < 0$ であるための何条件かを答える問題。選択肢は「必要条件」、「十分条件」、「必要十分条件」、「どれでもない」。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件を整理する。

条件P：「任意の自然数 $n$ に対し常に $a|m-n| < 0$ を満たす自然数 $m$ が存在する」

条件Q：「$a < 0$」

(1) Q $\Rightarrow$ P の真偽を判定する。

$a < 0$ のとき、$a|m-n| < 0$ となるのは、$|m-n| > 0$ のときである。すなわち、$m \neq n$ となる自然数 $m$ が存在すればよい。任意の自然数 $n$ に対して、$m = n+1$ とすれば、$m$ は自然数であり、$m \neq n$ なので、$a|m-n| = a|n+1-n| = |a| < 0$。これは $a < 0$ ならば、$a|m-n| = a < 0$ となり、成立する。したがって、Q $\Rightarrow$ P は真である。

(2) P $\Rightarrow$ Q の真偽を判定する。

P：「任意の自然数 $n$ に対し常に $a|m-n| < 0$ を満たす自然数 $m$ が存在する」

$a=0$ の場合は、$a|m-n| = 0 < 0$ となり、これは成立しないので、$a \neq 0$ である必要がある。

$a > 0$ と仮定すると、$a|m-n| < 0$ となるためには、$|m-n| < 0$ でなければならないが、$|m-n| \geq 0$ であるため、これは不可能である。

したがって、$a|m-n| < 0$ となるためには、$a < 0$ でなければならない。

したがって、P $\Rightarrow$ Q は真である。

(1),(2)より、Q $\Leftrightarrow$ P であるから、$a|m-n| < 0$ を満たす自然数 $m$ が存在する」は、$a < 0$ であるための必要十分条件である。

3. 最終的な答え

必要十分条件