$x$の2次方程式 $mx^2 - 4mx - 2m + 4 = 0$ が重解を持つような定数$m$の値を求め、そのときの解を求めよ。ただし、$m \neq 0$とする。

1. 問題の内容

$x$の2次方程式 $mx^2 - 4mx - 2m + 4 = 0$ が重解を持つような定数$m$の値を求め、そのときの解を求めよ。ただし、$m \neq 0$とする。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つための条件は、判別式が0となることです。

与えられた2次方程式の判別式を$D$とすると、

$D = (-4m)^2 - 4 \cdot m \cdot (-2m + 4) = 0$

これを解いて$m$の値を求めます。

$16m^2 - 4m(-2m + 4) = 0$

$16m^2 + 8m^2 - 16m = 0$

$24m^2 - 16m = 0$

$8m(3m - 2) = 0$

$m = 0$ または $m = \frac{2}{3}$

ただし、$m \neq 0$という条件より、$m = \frac{2}{3}$となります。

$m = \frac{2}{3}$のとき、与えられた2次方程式は

$\frac{2}{3}x^2 - 4 \cdot \frac{2}{3}x - 2 \cdot \frac{2}{3} + 4 = 0$

$\frac{2}{3}x^2 - \frac{8}{3}x - \frac{4}{3} + 4 = 0$

$\frac{2}{3}x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{8}{3} = 0$

両辺を $\frac{2}{3}$ で割ると

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

3. 最終的な答え

$m = \frac{2}{3}$のとき、重解は$x = 2$