分数の分母に無理数を含む式の有理化を行う問題です。具体的には、$\frac{\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}$を簡単にします。

代数学有理化平方根分数

2025/7/8

1. 問題の内容

分数の分母に無理数を含む式の有理化を行う問題です。具体的には、

\frac{\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}

を簡単にします。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行います。分母が

2+\sqrt{5}

なので、分母分子に

2-\sqrt{5}

を掛けます。

\frac{\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}(2-\sqrt{5})}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}

分母を計算します。

(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1

分子を計算します。

\sqrt{5}(2-\sqrt{5}) = 2\sqrt{5} - (\sqrt{5})^2 = 2\sqrt{5} - 5

したがって、

\frac{\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}-5}{-1} = 5 - 2\sqrt{5}

3. 最終的な答え

5 - 2\sqrt{5}

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