$a$は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 4x + 1$ について、$0 \le x \le a$ における最小値を求める。

1. 問題の内容

$a$は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 4x + 1$ について、$0 \le x \le a$ における最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 - 4x + 1$ を平方完成する。

$y = x^2 - 4x + 1 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 1 = (x-2)^2 - 3$

したがって、この関数のグラフは頂点が$(2, -3)$の放物線である。

定義域が $0 \le x \le a$ であるから、最小値は次の3つの場合に分けて考える。

(i) $0 < a < 2$ のとき

$x = a$ で最小値をとる。

最小値は $y = a^2 - 4a + 1$

(ii) $a = 2$ のとき

$x = 2$ で最小値をとる。

最小値は $y = -3$

(iii) $a > 2$ のとき

$x = 2$ で最小値をとる。

最小値は $y = -3$

まとめると、

$0 < a < 2$ のとき、$x = a$ で最小値 $a^2 - 4a + 1$

$a \ge 2$ のとき、$x = 2$ で最小値 $-3$

3. 最終的な答え

$0 < a < 2$ のとき、最小値 $a^2 - 4a + 1$

$a \ge 2$ のとき、最小値 $-3$