複数の数学の問題が出題されています。具体的には、多項式の割り算の余りを求める問題、3次方程式・4次方程式を解く問題、3次方程式の解に関する問題、座標平面上の点に関する問題、直線の方程式を求める問題があります。

1. 問題の内容

複数の数学の問題が出題されています。具体的には、多項式の割り算の余りを求める問題、3次方程式・4次方程式を解く問題、3次方程式の解に関する問題、座標平面上の点に関する問題、直線の方程式を求める問題があります。

2. 解き方の手順

個々の問題ごとに解き方を説明します。

問題1:

(1) $P(x) = 2x^3 - x^2 + 5$ を $x-1$ で割った余りを求める。

余りの定理より、$P(1)$ を計算する。

$P(1) = 2(1)^3 - (1)^2 + 5 = 2 - 1 + 5 = 6$

(2) $P(x) = 2x^3 - x^2 + 5$ を $2x+3$ で割った余りを求める。

余りの定理より、$P(-\frac{3}{2})$ を計算する。

$P(-\frac{3}{2}) = 2(-\frac{3}{2})^3 - (-\frac{3}{2})^2 + 5 = 2(-\frac{27}{8}) - \frac{9}{4} + 5 = -\frac{27}{4} - \frac{9}{4} + \frac{20}{4} = -\frac{16}{4} = -4$

問題2:

$P(x)$ を $x-2$ で割った余りが3であるから、$P(2) = 3$。

$P(x)$ を $x+3$ で割った余りが-7であるから、$P(-3) = -7$。

$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割ったときの余りを $ax+b$ とおく。

$P(x) = (x-2)(x+3)Q(x) + ax + b$ と書ける。

$P(2) = 2a + b = 3$

$P(-3) = -3a + b = -7$

この連立方程式を解く。

$2a + b = 3$

$-3a + b = -7$

上の式から下の式を引くと、$5a = 10$ より $a = 2$。

$2(2) + b = 3$ より $b = 3 - 4 = -1$。

したがって、余りは $2x - 1$。

問題3:

(1) $x^3 = -1$ を解く。

$x^3 + 1 = 0$

$(x+1)(x^2 - x + 1) = 0$

$x+1=0$ より $x = -1$

$x^2 - x + 1 = 0$ を解くと、$x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

解は、$x = -1, \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$

(2) $x^3 + 4x^2 - 11x + 6 = 0$ を解く。

$x=1$ を代入すると、$1 + 4 - 11 + 6 = 0$ なので $x=1$ は解。

$(x-1)(x^2 + 5x - 6) = 0$

$(x-1)(x+6)(x-1) = 0$

$(x-1)^2(x+6) = 0$

解は、$x = 1, 1, -6$

(3) $x^3 + 4x^2 - 8 = 0$ を解く。

$x=2$を試すと、$8 + 16 - 8 \ne 0$

$x=-2$を試すと、$-8 + 16 - 8 = 0$ なので $x=-2$ は解。

$(x+2)(x^2 + 2x - 4) = 0$

$x^2 + 2x - 4 = 0$ を解くと、$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$

解は、$x = -2, -1 + \sqrt{5}, -1 - \sqrt{5}$

問題4:

$x^4 + 7x^2 + 12 = 0$ を解く。

$y = x^2$ とおくと、$y^2 + 7y + 12 = 0$

$(y+3)(y+4) = 0$

$y = -3$ または $y = -4$

$x^2 = -3$ より $x = \pm i\sqrt{3}$

$x^2 = -4$ より $x = \pm 2i$

解は、$x = i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}, 2i, -2i$

問題5:

$x^3 - 3x^2 + ax + b = 0$ が $x = 1+i$ を解にもつので、$1-i$ も解。

3つの解を $\alpha, 1+i, 1-i$ とすると、解と係数の関係から

$\alpha + (1+i) + (1-i) = 3$ より $\alpha + 2 = 3$ なので $\alpha = 1$

$\alpha(1+i) + \alpha(1-i) + (1+i)(1-i) = a$ より $1+i+1-i+1+1 = a$ なので $a=4$

$\alpha(1+i)(1-i) = -b$ より $1(1+1) = -b$ なので $b = -2$

(1) $a=4, b=-2$

(2) 他の解は $1, 1-i$

問題6:

(1) $AB = \sqrt{(1-(-2))^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

(2) $\frac{1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1}{1+2}, \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1)}{1+2} = (\frac{0}{3}, \frac{0}{3}) = (0, 0)$

(3) $\frac{1 \cdot 1 + (-2) \cdot 1}{1-2}, \frac{1 \cdot 5 + (-2) \cdot (-1)}{1-2} = (\frac{-1}{-1}, \frac{7}{-1}) = (1, -7)$

(4) $(\frac{-2+1+1}{3}, \frac{2-1+5}{3}) = (\frac{0}{3}, \frac{6}{3}) = (0, 2)$

(5) Pはy軸上にあるので、P(0, y) とおく。

$PA^2 = (-2-0)^2 + (2-y)^2 = 4 + 4 - 4y + y^2 = y^2 - 4y + 8$

$PB^2 = (1-0)^2 + (-1-y)^2 = 1 + 1 + 2y + y^2 = y^2 + 2y + 2$

$PA^2 = PB^2$ より $y^2 - 4y + 8 = y^2 + 2y + 2$

$-4y + 8 = 2y + 2$

$6y = 6$

$y = 1$

P(0, 1)

問題7:

(1) 傾きが-2で、点(1, -5)を通る直線の方程式

$y - (-5) = -2(x - 1)$

$y + 5 = -2x + 2$

$y = -2x - 3$

(2) 2点(3, 1), (5, -3)を通る直線の方程式

傾きは $\frac{-3-1}{5-3} = \frac{-4}{2} = -2$

$y - 1 = -2(x - 3)$

$y - 1 = -2x + 6$

$y = -2x + 7$

(3) 2点(-1, 3), (-1, 1)を通る直線の方程式

$x = -1$

3. 最終的な答え

問題1: (1) 6 (2) -4

問題2: $2x - 1$

問題3: (1) $x = -1, \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ (2) $x = 1, 1, -6$ (3) $x = -2, -1 \pm \sqrt{5}$

問題4: $x = i\sqrt{3}, -i\sqrt{3}, 2i, -2i$

問題5: (1) $a=4, b=-2$ (2) $1, 1-i$

問題6: (1) $3\sqrt{2}$ (2) $(0, 0)$ (3) $(1, -7)$ (4) $(0, 2)$ (5) $(0, 1)$

問題7: (1) $y = -2x - 3$ (2) $y = -2x + 7$ (3) $x = -1$