$-4 < 2x + 1 < 4$

## 問題の解答

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4. 不等式 $|2x+1| < 4$ を解け。

### 解き方の手順

1. 絶対値の不等式を解くために、絶対値記号を外します。

$-4 < 2x + 1 < 4$

2. 各辺から1を引きます。

$-4 - 1 < 2x + 1 - 1 < 4 - 1$

$-5 < 2x < 3$

3. 各辺を2で割ります。

$-\frac{5}{2} < x < \frac{3}{2}$

### 最終的な答え

$-\frac{5}{2} < x < \frac{3}{2}$

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5. 不等式 $|x-4| < 3x$ を解け。

### 解き方の手順

1. 絶対値の不等式を解くために、場合分けをします。

(i) $x-4 \geq 0$ つまり $x \geq 4$ のとき

$x-4 < 3x$

$-4 < 2x$

$-2 < x$

$x \geq 4$ と $-2 < x$ の共通範囲は $x \geq 4$

(ii) $x-4 < 0$ つまり $x < 4$ のとき

$-(x-4) < 3x$

$-x+4 < 3x$

$4 < 4x$

$1 < x$

$x < 4$ と $1 < x$ の共通範囲は $1 < x < 4$

2. (i)と(ii)の結果を合わせると、$x \geq 4$ または $1 < x < 4$ となり、全体として $x > 1$

### 最終的な答え

$x > 1$

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6. 必要条件と十分条件

(1) $x < y$ は、$x^2 < y^2$ であるための \[\].

$x=-2, y=-1$とすると、$x < y$ であるが、$x^2 = 4, y^2 = 1$ なので、$x^2 < y^2$ は成り立たない。したがって、十分条件ではない。

$x=1, y=2$とすると、$x^2 < y^2$ であり $x<y$となるので、必要条件ではない。

$x^2 < y^2$ ならば、$|x| < |y|$である。$x < y$とは限らない。

よって、必要条件でも十分条件でもない。

(2) $xy > 0$ は、$x > 0$ であるための \[\].

$xy > 0$ なら、$x > 0$ かつ $y > 0$ または $x < 0$ かつ $y < 0$。したがって、$x > 0$ とは限らない。よって、十分条件ではない。

$x > 0$ なら、$y$ の符号が定まらない限り、$xy > 0$ とは限らない。$x=1, y=-1$ならば、$xy < 0$

必要条件でもない。

必要条件でも十分条件でもない。

(3) $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 0$ は、$x=1$ または $y=1$ であるための \[\].

$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 0$ となるのは、$x-1 = 0$ かつ $y-1 = 0$ のときのみ。すなわち、$x=1$ かつ $y=1$。よって、$x=1$ または $y=1$ は成り立つ。

$x=1$ または $y=1$ なら、$x=1$ かつ $y=1$である必要はない。

十分条件ではない。

(4) $xy$ が無理数であることは、$x, y$ の少なくとも一方が無理数であるための \[\].

$x, y$ の少なくとも一方が無理数であるとき、$xy$ が無理数とは限らない。例えば、$x = \sqrt{2}$, $y = \sqrt{2}$ のとき、$xy = 2$ であり、$xy$は無理数ではない。

よって、十分条件ではない。

$x, y$ がともに有理数のとき、$xy$ は有理数である。したがって、$xy$ が無理数であるならば、$x, y$ の少なくとも一方は無理数である。必要条件である。

必要条件だが十分条件ではない。