数列の問題です。 25a (1) 数列 $\{a_n\} : 1, 4, 8, 13, 19, ...$ の一般項を求めます。 25a (2) 数列 $\{a_n\} : 5, 6, 8, 12, 20, ...$ の一般項を求めます。 25b (1) 数列 $\{a_n\} : 4, 7, 13, 22, 34, ...$ の一般項を求めます。 25b (2) 数列 $\{a_n\} : 6, 9, 3, ...$ の一般項を求めます。

1. 問題の内容

数列の問題です。

25a (1) 数列 $\{a_n\} : 1, 4, 8, 13, 19, ...$ の一般項を求めます。

25a (2) 数列 $\{a_n\} : 5, 6, 8, 12, 20, ...$ の一般項を求めます。

25b (1) 数列 $\{a_n\} : 4, 7, 13, 22, 34, ...$ の一般項を求めます。

25b (2) 数列 $\{a_n\} : 6, 9, 3, ...$ の一般項を求めます。

2. 解き方の手順

25a (1)

階差数列を求めます。

$3, 4, 5, 6, ...$

これは初項3, 公差1の等差数列なので、第$n$項は $3 + (n-1) \cdot 1 = n+2$ です。

よって、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k+2)$

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 2$

$a_n = 1 + \frac{(n-1)n}{2} + 2(n-1)$

$a_n = 1 + \frac{n^2 - n}{2} + 2n - 2$

$a_n = \frac{n^2 - n + 4n - 2 + 2}{2} = \frac{n^2 + 3n}{2}$

$a_n = \frac{n^2 + 3n}{2}-1$

$a_n = \frac{n^2 + 3n - 2}{2}$

$n = 1$ のとき、$a_1 = \frac{1+3-2}{2} = 1$ となり、成立します。

25a (2)

階差数列を求めます。

$1, 2, 4, 8, ...$

これは初項1, 公比2の等比数列なので、第$n$項は $1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$ です。

よって、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$

$a_n = 5 + \sum_{k=0}^{n-2} 2^{k}$

$a_n = 5 + \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2-1}$

$a_n = 5 + 2^{n-1} - 1$

$a_n = 2^{n-1} + 4$

$n = 1$ のとき、$a_1 = 2^0 + 4 = 1+4 = 5$ となり、成立します。

25b (1)

階差数列を求めます。

$3, 6, 9, 12, ...$

これは初項3, 公差3の等差数列なので、第$n$項は $3 + (n-1) \cdot 3 = 3n$ です。

よって、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3k$

$a_n = 4 + 3\sum_{k=1}^{n-1} k$

$a_n = 4 + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$

$a_n = 4 + \frac{3n^2 - 3n}{2}$

$a_n = \frac{3n^2 - 3n + 8}{2}$

$n = 1$ のとき、$a_1 = \frac{3-3+8}{2} = 4$ となり、成立します。

25b (2)

階差数列を求めます。

$3, -6, ...$

階差数列は等比数列でも等差数列でもありません。

数列は $6, 9, 3, ...$ なので、

$a_1=6$

$a_2=9$

$a_3=3$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$b_1 = 3$

$b_2 = -6$

$b_3 =$

階差数列が与えられていないので、解くことはできません。

3. 最終的な答え

25a (1): $a_n = \frac{n^2 + 3n + 2}{2}$

25a (2): $a_n = 2^{n-1} + 4$

25b (1): $a_n = \frac{3n^2 - 3n + 8}{2}$

25b (2): 解けません