問題は全部で4問あります。 * 問1: 2次式 $2x^2 + x - 15$ を因数分解し、空欄を埋める問題 * 問2: $x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$, $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求める問題 * 問3: $0 \le x \le 4$ における関数 $f(x) = x^2 - 6x + 7$ の最大値を求める問題 * 問4: 2次不等式 $x^2 - 4x - 12 < 0$ の解を選択肢から選ぶ問題

1. 問題の内容

問題は全部で4問あります。

* 問1: 2次式 $2x^2 + x - 15$ を因数分解し、空欄を埋める問題

* 問2: $x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$, $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求める問題

* 問3: $0 \le x \le 4$ における関数 $f(x) = x^2 - 6x + 7$ の最大値を求める問題

* 問4: 2次不等式 $x^2 - 4x - 12 < 0$ の解を選択肢から選ぶ問題

2. 解き方の手順

* 問1:

$2x^2 + x - 15$ を因数分解します。

$2x^2 + x - 15 = (2x - 5)(x + 3)$

よって、ア = 2, イ = 5, ウ = 3

* 問2:

$x^2 = (\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2})^2 = \frac{7 + 2\sqrt{21} + 3}{4} = \frac{10 + 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$

$y^2 = (\frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2})^2 = \frac{7 - 2\sqrt{21} + 3}{4} = \frac{10 - 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$

$x^2 + y^2 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2} + \frac{5 - \sqrt{21}}{2} = \frac{10}{2} = 5$

よって、エ = 5

* 問3:

$f(x) = x^2 - 6x + 7$ を平方完成します。

$f(x) = (x - 3)^2 - 9 + 7 = (x - 3)^2 - 2$

軸は $x = 3$ で、下に凸のグラフです。

$f(0) = 0^2 - 6(0) + 7 = 7$

$f(4) = 4^2 - 6(4) + 7 = 16 - 24 + 7 = -1$

$0 \le x \le 4$ における最大値は、$f(0) = 7$

よって、オ = 7

* 問4:

$x^2 - 4x - 12 < 0$ を因数分解します。

$(x - 6)(x + 2) < 0$

$-2 < x < 6$

よって、カ = 0

3. 最終的な答え

問1: ア = 2, イ = 5, ウ = 3

問2: エ = 5

問3: オ = 7

問4: カ = 0