地上から物体を秒速30mで真上に投げ上げたとき、$x$秒後の物体の高さ$y$mは、$y = -5x^2 + 30x$ で表される。 (1) 物体が最も高い位置に達するのは、投げ上げてから何秒後か。また、その高さを求めよ。 (2) 物体が再度地上に戻ってくるのは、投げ上げてから何秒後か。

1. 問題の内容

地上から物体を秒速30mで真上に投げ上げたとき、$x$秒後の物体の高さ$y$mは、$y = -5x^2 + 30x$ で表される。

(1) 物体が最も高い位置に達するのは、投げ上げてから何秒後か。また、その高さを求めよ。

(2) 物体が再度地上に戻ってくるのは、投げ上げてから何秒後か。

2. 解き方の手順

(1)

物体の高さ $y$ が最大になるのは、2次関数 $y = -5x^2 + 30x$ の頂点の $y$ 座標に対応する。

まず、$y = -5x^2 + 30x$ を平方完成する。

$y = -5(x^2 - 6x)$

$y = -5(x^2 - 6x + 9 - 9)$

$y = -5((x - 3)^2 - 9)$

$y = -5(x - 3)^2 + 45$

よって、頂点の座標は $(3, 45)$ である。

したがって、物体が最も高い位置に達するのは、投げ上げてから3秒後であり、その高さは45mである。

(2)

物体が再度地上に戻ってくるのは、$y = 0$ となる $x$ を求める。

$y = -5x^2 + 30x = 0$

$-5x(x - 6) = 0$

$x = 0, 6$

$x = 0$ は投げ上げる前の時刻を表すので、$x = 6$ が求める時間である。

したがって、物体が再度地上に戻ってくるのは、投げ上げてから6秒後である。

3. 最終的な答え

(1) 3秒後、45m

(2) 6秒後