2次関数 $y=-(x-a)^2+3$ において、$0 \le x \le 2$ の範囲での最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y=-(x-a)^2+3$ において、$0 \le x \le 2$ の範囲での最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 最大値を求める。

この2次関数のグラフは上に凸の放物線であり、軸は $x=a$ です。したがって、最大値は軸が定義域内にある場合に頂点 $x=a$ でとり、その値は $3$ となります。軸が定義域外にある場合は、定義域の端点で最大値をとります。

(i) $0 \le a \le 2$ のとき、最大値は $y = -(a-a)^2 + 3 = 3$ です。

(ii) $a < 0$ のとき、区間 $0 \le x \le 2$ において、$x$ が小さいほど $y$ が大きくなるので、最大値は $x=0$ のときにとり、その値は $y = -(0-a)^2 + 3 = -a^2 + 3$ です。

(iii) $a > 2$ のとき、区間 $0 \le x \le 2$ において、$x$ が大きいほど $y$ が大きくなるので、最大値は $x=2$ のときにとり、その値は $y = -(2-a)^2 + 3 = -(a-2)^2 + 3 = -a^2 + 4a - 1$ です。

(2) 最小値を求める。

(i) $0 \le a \le 2$ のとき、軸が定義域内にあるので、定義域の端点のいずれかで最小値をとります。

$x=0$ のとき $y = -a^2 + 3$、 $x=2$ のとき $y = -(2-a)^2 + 3 = -a^2 + 4a - 1$

$y(0) - y(2) = -a^2 + 3 - (-a^2 + 4a - 1) = -4a + 4 = 4(1-a)$.

$a \le 1$ のとき、$y(0) \ge y(2)$. 最小値は $y(2) = -a^2 + 4a - 1$

$a \ge 1$ のとき、$y(0) \le y(2)$. 最小値は $y(0) = -a^2 + 3$

$a=1$ のとき、$y(0) = y(2) = 2$

(ii) $a < 0$ のとき、区間 $0 \le x \le 2$ において、$x$ が大きいほど $y$ が小さくなるので、最小値は $x=2$ のときにとり、その値は $y = -(2-a)^2 + 3 = -a^2 + 4a - 1$ です。

(iii) $a > 2$ のとき、区間 $0 \le x \le 2$ において、$x$ が小さいほど $y$ が小さくなるので、最小値は $x=0$ のときにとり、その値は $y = -a^2 + 3$ です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値

$0 \le a \le 2$ のとき、最大値は $3$。

$a < 0$ のとき、最大値は $-a^2 + 3$。

$a > 2$ のとき、最大値は $-a^2 + 4a - 1$。

(2) 最小値

$a \le 0$ のとき、最小値は $-a^2 + 4a - 1$。

$0 \le a \le 1$ のとき、最小値は $-a^2 + 4a - 1$。

$1 \le a \le 2$ のとき、最小値は $-a^2 + 3$。

$2 \le a$ のとき、最小値は $-a^2 + 3$。

場合分けをまとめて記述すると：

(1) 最大値

$a < 0$ のとき、$-a^2+3$

$0 \le a \le 2$ のとき、$3$

$2 < a$ のとき、$-a^2+4a-1$

(2) 最小値

$a < 1$ のとき、$-a^2+4a-1$

$1 \le a$ のとき、$-a^2+3$