2次関数 $y=x^2$ のグラフを平行移動して、2点 $(c, 0)$ と $(c+4, 0)$ を通るグラフGを得る。グラフGを持つ2次関数を $c$ を用いて表し、さらにGが点 $(3, -1)$ を通る時、Gが $y=x^2$ のグラフをどのように平行移動したものかを求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y=x^2$ のグラフを平行移動して、2点 $(c, 0)$ と $(c+4, 0)$ を通るグラフGを得る。グラフGを持つ2次関数を $c$ を用いて表し、さらにGが点 $(3, -1)$ を通る時、Gが $y=x^2$ のグラフをどのように平行移動したものかを求める。

2. 解き方の手順

(ア, イ)

グラフGは、2点 $(c, 0)$ と $(c+4, 0)$ を通るので、その方程式は

$y = (x-c)(x-(c+4))$ と表せる。

これを展開すると、

$y = x^2 - (c + c+4)x + c(c+4) = x^2 - 2(c+2)x + c(c+4)$

したがって、アは2、イは4である。

$y = x^2 - 2(c+2)x + c(c+4)$

(ウ, エ, オカ)

Gが点 $(3, -1)$ を通るので、

$-1 = 3^2 - 2(c+2)3 + c(c+4)$

$-1 = 9 - 6c - 12 + c^2 + 4c$

$0 = c^2 - 2c - 1 + 9 - 12 + 1$

$0 = c^2 - 2c - 3$

$0 = (c-3)(c+1)$

$c = 3$ または $c = -1$

$2 \le c \le 3$ より、$c = 3$。

したがって、グラフGの方程式は

$y = x^2 - 2(3+2)x + 3(3+4) = x^2 - 10x + 21$

これを平方完成すると

$y = (x - 5)^2 - 4$

よって、これは $y = x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $5$、$y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動したものである。

$5 = ウ + \sqrt{エ}$ より、$ウ = 4$, $エ = 1$

$オカ = -4$

3. 最終的な答え

ア：2

イ：4

ウ：4

エ：1

オカ：-4