与えられた4x4行列 $A$ の行列式を、指定された行または列で余因子展開し、最終的に行列式 $|A|$ の値を計算する問題です。行列 $A$ は次の通りです。 $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 5 & 3 \\ 3 & -2 & -2 & 2 \\ 4 & 0 & -4 & 0 \\ 6 & 0 & 8 & 0 \end{pmatrix}$ (1) 第2行で余因子展開する。 (2) 第4列で余因子展開する。 (3) $|A|$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた4x4行列 $A$ の行列式を、指定された行または列で余因子展開し、最終的に行列式 $|A|$ の値を計算する問題です。行列 $A$ は次の通りです。

$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 5 & 3 \\ 3 & -2 & -2 & 2 \\ 4 & 0 & -4 & 0 \\ 6 & 0 & 8 & 0 \end{pmatrix}$

(1) 第2行で余因子展開する。

(2) 第4列で余因子展開する。

(3) $|A|$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第2行での余因子展開:

行列式 $|A|$ を第2行で余因子展開すると、次のようになります。

$|A| = \sum_{j=1}^4 a_{2j} C_{2j} = a_{21}C_{21} + a_{22}C_{22} + a_{23}C_{23} + a_{24}C_{24}$

ここで、$a_{ij}$ は行列 $A$ の $i$ 行 $j$ 列の要素、$C_{ij}$ は $a_{ij}$ の余因子です。

$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$, $M_{ij}$は小行列式です。

$|A| = 3C_{21} + (-2)C_{22} + (-2)C_{23} + 2C_{24}$

$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -1 & 5 & 3 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \end{vmatrix} = -((-1) \cdot (-4)\cdot 0 + 5\cdot 0 \cdot 0 + 3 \cdot 0 \cdot 8 -3\cdot (-4) \cdot 0 - (-1) \cdot 0 \cdot 0 - 5 \cdot 8 \cdot 0) = -0 = 0$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 0 & 5 & 3 \\ 4 & -4 & 0 \\ 6 & 8 & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot (-4)\cdot 0 + 5\cdot 0 \cdot 6 + 3 \cdot 4 \cdot 8 -3\cdot (-4) \cdot 6 - 0 \cdot 0 \cdot 8 - 5 \cdot 4 \cdot 0) = 0 + 0 + 96 + 72 - 0 - 0 = 168$

$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 0 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 0 \end{vmatrix} = -(0 \cdot 0 \cdot 0 + (-1)\cdot 0 \cdot 6 + 3 \cdot 4 \cdot 0 - 3\cdot 0 \cdot 6 - 0 \cdot 0 \cdot 0 - (-1) \cdot 4 \cdot 0) = -0 = 0$

$C_{24} = (-1)^{2+4} \begin{vmatrix} 0 & -1 & 5 \\ 4 & 0 & -4 \\ 6 & 0 & 8 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0 \cdot 8 + (-1)\cdot (-4) \cdot 6 + 5 \cdot 4 \cdot 0 - 5\cdot 0 \cdot 6 - 0 \cdot (-4) \cdot 0 - (-1) \cdot 4 \cdot 8) = 0 + 24 + 0 - 0 - 0 + 32 = 56$

$|A| = 3(0) + (-2)(168) + (-2)(0) + 2(56) = -336 + 112 = -224$

(2) 第4列での余因子展開:

$|A| = \sum_{i=1}^4 a_{i4} C_{i4} = a_{14}C_{14} + a_{24}C_{24} + a_{34}C_{34} + a_{44}C_{44}$

$|A| = 3C_{14} + 2C_{24} + 0C_{34} + 0C_{44} = 3C_{14} + 2C_{24}$

$C_{14} = (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 3 & -2 & -2 \\ 4 & 0 & -4 \\ 6 & 0 & 8 \end{vmatrix} = -(3\cdot 0 \cdot 8 + (-2)\cdot (-4) \cdot 6 + (-2) \cdot 4 \cdot 0 - (-2)\cdot 0 \cdot 6 - 3 \cdot (-4) \cdot 0 - (-2) \cdot 4 \cdot 8) = -(0 + 48 + 0 - 0 - 0 + 64) = -112$

$C_{24} = (-1)^{2+4} \begin{vmatrix} 0 & -1 & 5 \\ 4 & 0 & -4 \\ 6 & 0 & 8 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0 \cdot 8 + (-1)\cdot (-4) \cdot 6 + 5 \cdot 4 \cdot 0 - 5\cdot 0 \cdot 6 - 0 \cdot (-4) \cdot 0 - (-1) \cdot 4 \cdot 8) = (0 + 24 + 0 - 0 - 0 + 32) = 56$

$|A| = 3(-112) + 2(56) = -336 + 112 = -224$

(3) $|A|$ の値:

上記(1),(2)より、$|A| = -224$

3. 最終的な答え

(1) 第2行で余因子展開した結果: $|A| = -224$

(2) 第4列で余因子展開した結果: $|A| = -224$

(3) $|A|$ の値: $|A| = -224$