2次関数 $y=x^2$ のグラフを平行移動して得られるグラフGが、2点 $(c, 0)$, $(c+4, 0)$ を通る。このとき、グラフGを表す2次関数を $y=x^2-2(c+?)x+c(c+?)$ の形で求め、さらにGが点 $(3, -1)$ を通るとき、グラフGが $y=x^2$ のグラフを $x$ 軸方向と $y$ 軸方向にそれぞれどれだけ平行移動したものかを求める。ここで $2 \le c \le 3$ である。

1. 問題の内容

2次関数 $y=x^2$ のグラフを平行移動して得られるグラフGが、2点 $(c, 0)$, $(c+4, 0)$ を通る。このとき、グラフGを表す2次関数を $y=x^2-2(c+?)x+c(c+?)$ の形で求め、さらにGが点 $(3, -1)$ を通るとき、グラフGが $y=x^2$ のグラフを $x$ 軸方向と $y$ 軸方向にそれぞれどれだけ平行移動したものかを求める。ここで $2 \le c \le 3$ である。

2. 解き方の手順

(ア、イを求める)

グラフGが $(c, 0)$ と $(c+4, 0)$ を通るので、グラフGの式は、

$y = (x-c)(x-(c+4)) = x^2 - (c+c+4)x + c(c+4)$

$y = x^2 - (2c+4)x + c(c+4)$

よって、 $y = x^2 - 2(c+2)x + c(c+4)$ となる。

したがって、アは2、イは4となる。

(ウ、エ、オ、カを求める)

$y = x^2 - 2(c+2)x + c(c+4)$ に $(3, -1)$ を代入すると、

$-1 = 3^2 - 2(c+2)(3) + c(c+4)$

$-1 = 9 - 6c - 12 + c^2 + 4c$

$-1 = c^2 - 2c - 3$

$c^2 - 2c - 2 = 0$

$c = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

条件 $2 \le c \le 3$ より、 $c = 1 + \sqrt{3}$

$y = x^2 - 2(c+2)x + c(c+4)$

$y = x^2 - 2(1+\sqrt{3}+2)x + (1+\sqrt{3})(1+\sqrt{3}+4)$

$y = x^2 - 2(3+\sqrt{3})x + (1+\sqrt{3})(5+\sqrt{3})$

$y = x^2 - (6+2\sqrt{3})x + 5 + \sqrt{3} + 5\sqrt{3} + 3$

$y = x^2 - (6+2\sqrt{3})x + 8 + 6\sqrt{3}$

$y = (x - (3+\sqrt{3}))^2 - (3+\sqrt{3})^2 + 8 + 6\sqrt{3}$

$y = (x - (3+\sqrt{3}))^2 - (9 + 6\sqrt{3} + 3) + 8 + 6\sqrt{3}$

$y = (x - (3+\sqrt{3}))^2 - 12 - 6\sqrt{3} + 8 + 6\sqrt{3}$

$y = (x - (3+\sqrt{3}))^2 - 4$

$y + 4 = (x - (3+\sqrt{3}))^2$

したがって、 $y = x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $3 + \sqrt{3}$、$y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動したものである。

ウは3、エは3、オカは-4となる。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 4

ウ: 3

エ: 3

オカ: -4