初項が $a_1 = 2$ であり、漸化式 $a_{n+1} - a_n = n + 3$ を満たす数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

初項が $a_1 = 2$ であり、漸化式 $a_{n+1} - a_n = n + 3$ を満たす数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 一般項 $a_n$ を求める。

与えられた漸化式 $a_{n+1} - a_n = n + 3$ は、数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $n+3$ であることを示しています。

したがって、$n \ge 2$ のとき、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k+3) = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 3$$

$$= 2 + \frac{(n-1)n}{2} + 3(n-1) = 2 + \frac{n^2 - n}{2} + 3n - 3$$

$$= \frac{4 + n^2 - n + 6n - 6}{2} = \frac{n^2 + 5n - 2}{2}$$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1^2 + 5(1) - 2}{2} = \frac{1+5-2}{2} = \frac{4}{2} = 2$ となり、$a_1 = 2$ を満たします。

したがって、一般項は $a_n = \frac{n^2 + 5n - 2}{2}$ となります。

(2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2 + 5k - 2}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (k^2 + 5k - 2)$

$$= \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} k^2 + 5 \sum_{k=1}^{n} k - 2 \sum_{k=1}^{n} 1 \right)$$

$$= \frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 5 \frac{n(n+1)}{2} - 2n \right)$$

$$= \frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1) + 15n(n+1) - 12n}{6} \right)$$

$$= \frac{1}{12} \left( n(n+1)(2n+1) + 15n(n+1) - 12n \right)$$

$$= \frac{n}{12} \left( (n+1)(2n+1) + 15(n+1) - 12 \right)$$

$$= \frac{n}{12} \left( 2n^2 + 3n + 1 + 15n + 15 - 12 \right) = \frac{n}{12} \left( 2n^2 + 18n + 4 \right)$$

$$= \frac{n(n^2 + 9n + 2)}{6}$$

3. 最終的な答え

一般項: $a_n = \frac{n^2 + 5n - 2}{2}$

初項から第 $n$ 項までの和: $S_n = \frac{n(n^2 + 9n + 2)}{6}$