与えられた式 $\frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{2\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ を計算して、分母を有理化し、式を簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{2\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ を計算して、分母を有理化し、式を簡単にします。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役複素数 $2\sqrt{3} + \sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{2\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(2\sqrt{3} - \sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2})}$

分子を展開します。

$(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2}) = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + 2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} + 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$

$= 2 \cdot 3 + \sqrt{6} + 4\sqrt{6} + 2 \cdot 2$

$= 6 + 5\sqrt{6} + 4$

$= 10 + 5\sqrt{6}$

分母を展開します。

$(2\sqrt{3} - \sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2}) = (2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2$

$= 4 \cdot 3 - 2$

$= 12 - 2$

$= 10$

したがって、

$\frac{(\sqrt{3} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(2\sqrt{3} - \sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{10 + 5\sqrt{6}}{10}$

この式を簡略化します。

$\frac{10 + 5\sqrt{6}}{10} = \frac{10}{10} + \frac{5\sqrt{6}}{10}$

$= 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}$

$= \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{2 + \sqrt{6}}{2}$