問題は次の3つの2次関数について、与えられた定義域におけるグラフを描き、その値域を求めるものです。 (1) $y = -x^2 + x$ ($-1 < x < 3$) (2) $y = -2x^2 + 3x - 1$ (3) $y = (x+1)(x-3)$ ($0 < x \leq 4$)

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、各問題についてグラフの概形と値域を求める手順を説明します。

1. 問題の内容

問題は次の3つの2次関数について、与えられた定義域におけるグラフを描き、その値域を求めるものです。

(1) $y = -x^2 + x$ ($-1 < x < 3$)

(2) $y = -2x^2 + 3x - 1$

(3) $y = (x+1)(x-3)$ ($0 < x \leq 4$)

2. 解き方の手順

(1) $y = -x^2 + x$ ($-1 < x < 3$)

* 平方完成: $y = -(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}$

* 頂点: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$

* 定義域の両端の値:

* $x = -1$ のとき、$y = -(-1)^2 + (-1) = -2$

* $x = 3$ のとき、$y = -(3)^2 + 3 = -6$

* グラフは上に凸の放物線で、頂点$(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$を中心として、$x=-1$のとき$y=-2$、$x=3$のとき$y=-6$となります。

* 値域: $-6 \leq y < \frac{1}{4}$

(2) 問題文に定義域の記載がないため、定義域が全実数であると仮定して、進めます。 $y = -2x^2 + 3x - 1$

* 平方完成: $y = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{1}{8}$

* 頂点: $(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$

* グラフは上に凸の放物線で、頂点$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$を中心とする。

* 値域: $y \leq \frac{1}{8}$

(3) $y = (x+1)(x-3)$ ($0 < x \leq 4$)

* 展開: $y = x^2 - 2x - 3$

* 平方完成: $y = (x - 1)^2 - 4$

* 頂点: $(1, -4)$

* 定義域の両端の値:

* $x = 0$ のとき、$y = (0+1)(0-3) = -3$

* $x = 4$ のとき、$y = (4+1)(4-3) = 5$

* グラフは下に凸の放物線で、頂点$(1, -4)$を中心として、$x=0$のとき$y=-3$、$x=4$のとき$y=5$となります。

* 値域: $-4 \leq y \leq 5$

3. 最終的な答え

(1) 値域: $-6 \leq y < \frac{1}{4}$

(2) 値域: $y \leq \frac{1}{8}$

(3) 値域: $-4 \leq y \leq 5$