与えられた指数不等式を解く問題です。具体的には、問題番号6から10までの5つの不等式を解く必要があります。 (6) $8^x > 32$ (7) $3^{3x-1} \geq \frac{1}{9}$ (8) $3^{2x+3} \leq \sqrt{3}$ (9) $9^{2-x} > \frac{1}{3}$ (10) $(\frac{1}{3})^{3x+1} > \frac{1}{\sqrt{3}}$

代数学指数不等式指数不等式底の変換
2025/7/8
## 指数不等式の問題

1. 問題の内容

与えられた指数不等式を解く問題です。具体的には、問題番号6から10までの5つの不等式を解く必要があります。
(6) 8x>328^x > 32
(7) 33x1193^{3x-1} \geq \frac{1}{9}
(8) 32x+333^{2x+3} \leq \sqrt{3}
(9) 92x>139^{2-x} > \frac{1}{3}
(10) (13)3x+1>13(\frac{1}{3})^{3x+1} > \frac{1}{\sqrt{3}}

2. 解き方の手順

これらの不等式を解くための基本的な手順は以下の通りです。
* **底を揃える:** 不等式の両辺の底を同じ数に揃えます。
* **指数部分を比較:** 底が1より大きい場合は、指数部分の大小関係が不等号の向きと同じになります。底が0より大きく1より小さい場合は、指数部分の大小関係が不等号の向きと逆になります。
* **不等式を解く:** 指数部分の不等式を解いて、xxの範囲を求めます。
以下に各問題の解き方を示します。
(6) 8x>328^x > 32
8=238 = 2^332=2532 = 2^5 なので、与式は
(23)x>25(2^3)^x > 2^5
23x>252^{3x} > 2^5
底が2で1より大きいので、3x>53x > 5
x>53x > \frac{5}{3}
(7) 33x1193^{3x-1} \geq \frac{1}{9}
19=32\frac{1}{9} = 3^{-2} なので、与式は
33x1323^{3x-1} \geq 3^{-2}
底が3で1より大きいので、3x123x - 1 \geq -2
3x13x \geq -1
x13x \geq -\frac{1}{3}
(8) 32x+333^{2x+3} \leq \sqrt{3}
3=312\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} なので、与式は
32x+33123^{2x+3} \leq 3^{\frac{1}{2}}
底が3で1より大きいので、2x+3122x + 3 \leq \frac{1}{2}
2x1232x \leq \frac{1}{2} - 3
2x522x \leq -\frac{5}{2}
x54x \leq -\frac{5}{4}
(9) 92x>139^{2-x} > \frac{1}{3}
9=329 = 3^213=31\frac{1}{3} = 3^{-1} なので、与式は
(32)2x>31(3^2)^{2-x} > 3^{-1}
342x>313^{4-2x} > 3^{-1}
底が3で1より大きいので、42x>14 - 2x > -1
2x>5-2x > -5
x<52x < \frac{5}{2} (不等号の向きに注意)
(10) (13)3x+1>13(\frac{1}{3})^{3x+1} > \frac{1}{\sqrt{3}}
13=(13)12\frac{1}{\sqrt{3}} = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}} なので、与式は
(13)3x+1>(13)12(\frac{1}{3})^{3x+1} > (\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}}
底が13\frac{1}{3}で0より大きく1より小さいので、3x+1<123x + 1 < \frac{1}{2} (不等号の向きに注意)
3x<123x < -\frac{1}{2}
x<16x < -\frac{1}{6}

3. 最終的な答え

(6) x>53x > \frac{5}{3}
(7) x13x \geq -\frac{1}{3}
(8) x54x \leq -\frac{5}{4}
(9) x<52x < \frac{5}{2}
(10) x<16x < -\frac{1}{6}

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