ド・モアブルの公式を用いて、以下の複素数の計算をします。 (1) $(\sqrt{3} + i)^6$ (2) $(\sqrt{3} + i)^{-5}$

1. 問題の内容

ド・モアブルの公式を用いて、以下の複素数の計算をします。

(1) $(\sqrt{3} + i)^6$

(2) $(\sqrt{3} + i)^{-5}$

2. 解き方の手順

ド・モアブルの公式は、複素数 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ に対して、$z^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$ となることを利用します。

(1) $(\sqrt{3} + i)^6$

まず、$\sqrt{3} + i$ を極形式で表します。

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$

$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\sin\theta = \frac{1}{2}$ なので、$\theta = \frac{\pi}{6}$

よって、$\sqrt{3} + i = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$

$(\sqrt{3} + i)^6 = (2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}))^6$

ド・モアブルの公式より、

$(\sqrt{3} + i)^6 = 2^6(\cos(6 \cdot \frac{\pi}{6}) + i\sin(6 \cdot \frac{\pi}{6}))$

$= 64(\cos\pi + i\sin\pi) = 64(-1 + i \cdot 0) = -64$

(2) $(\sqrt{3} + i)^{-5}$

$\sqrt{3} + i = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$ は(1)と同じです。

$(\sqrt{3} + i)^{-5} = (2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}))^{-5}$

ド・モアブルの公式より、

$(\sqrt{3} + i)^{-5} = 2^{-5}(\cos(-5 \cdot \frac{\pi}{6}) + i\sin(-5 \cdot \frac{\pi}{6}))$

$= \frac{1}{32}(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i\sin(-\frac{5\pi}{6}))$

$\cos(-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

$= \frac{1}{32}(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{64}i$

3. 最終的な答え

(1) $(\sqrt{3} + i)^6 = -64$

(2) $(\sqrt{3} + i)^{-5} = -\frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{64}i$