ド・モアブルの公式を用いて、以下の複素数の計算をします。 (1) $(\sqrt{3} + i)^6$ (2) $(\sqrt{3} + i)^{-5}$

代数学複素数ド・モアブルの公式極形式
2025/7/9

1. 問題の内容

ド・モアブルの公式を用いて、以下の複素数の計算をします。
(1) (3+i)6(\sqrt{3} + i)^6
(2) (3+i)5(\sqrt{3} + i)^{-5}

2. 解き方の手順

ド・モアブルの公式は、複素数 z=r(cosθ+isinθ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta) に対して、zn=rn(cos(nθ)+isin(nθ))z^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) となることを利用します。
(1) (3+i)6(\sqrt{3} + i)^6
まず、3+i\sqrt{3} + i を極形式で表します。
r=(3)2+12=3+1=4=2r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2
cosθ=32\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} かつ sinθ=12\sin\theta = \frac{1}{2} なので、θ=π6\theta = \frac{\pi}{6}
よって、3+i=2(cosπ6+isinπ6)\sqrt{3} + i = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})
(3+i)6=(2(cosπ6+isinπ6))6(\sqrt{3} + i)^6 = (2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}))^6
ド・モアブルの公式より、
(3+i)6=26(cos(6π6)+isin(6π6))(\sqrt{3} + i)^6 = 2^6(\cos(6 \cdot \frac{\pi}{6}) + i\sin(6 \cdot \frac{\pi}{6}))
=64(cosπ+isinπ)=64(1+i0)=64= 64(\cos\pi + i\sin\pi) = 64(-1 + i \cdot 0) = -64
(2) (3+i)5(\sqrt{3} + i)^{-5}
3+i=2(cosπ6+isinπ6)\sqrt{3} + i = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}) は(1)と同じです。
(3+i)5=(2(cosπ6+isinπ6))5(\sqrt{3} + i)^{-5} = (2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}))^{-5}
ド・モアブルの公式より、
(3+i)5=25(cos(5π6)+isin(5π6))(\sqrt{3} + i)^{-5} = 2^{-5}(\cos(-5 \cdot \frac{\pi}{6}) + i\sin(-5 \cdot \frac{\pi}{6}))
=132(cos(5π6)+isin(5π6))= \frac{1}{32}(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i\sin(-\frac{5\pi}{6}))
cos(5π6)=32\cos(-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
sin(5π6)=12\sin(-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{2}
=132(32i12)=364164i= \frac{1}{32}(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{64}i

3. 最終的な答え

(1) (3+i)6=64(\sqrt{3} + i)^6 = -64
(2) (3+i)5=364164i(\sqrt{3} + i)^{-5} = -\frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{64}i

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