複素数 $(\sqrt{3} + i)$ の-5乗を計算します。つまり、$(\sqrt{3} + i)^{-5}$ を計算します。

代数学複素数ド・モアブルの定理極形式
2025/7/9

1. 問題の内容

複素数 (3+i)(\sqrt{3} + i) の-5乗を計算します。つまり、(3+i)5(\sqrt{3} + i)^{-5} を計算します。

2. 解き方の手順

複素数 3+i\sqrt{3} + i を極形式で表します。
3+i=r(cosθ+isinθ)\sqrt{3} + i = r(\cos\theta + i\sin\theta) とおくと、
r=(3)2+12=3+1=4=2r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2
cosθ=32\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}sinθ=12\sin\theta = \frac{1}{2}
よって、θ=π6\theta = \frac{\pi}{6}
したがって、 3+i=2(cosπ6+isinπ6)\sqrt{3} + i = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})
ド・モアブルの定理より、
(3+i)5=(2(cosπ6+isinπ6))5=25(cos(5π6)+isin(5π6))(\sqrt{3} + i)^{-5} = (2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}))^{-5} = 2^{-5}(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i\sin(-\frac{5\pi}{6}))
25=1322^{-5} = \frac{1}{32}
cos(5π6)=cos(7π6)=32\cos(-\frac{5\pi}{6}) = \cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
sin(5π6)=sin(7π6)=12\sin(-\frac{5\pi}{6}) = \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2}
(3+i)5=132(3212i)=364164i(\sqrt{3} + i)^{-5} = \frac{1}{32}(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i) = -\frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{64}i

3. 最終的な答え

364164i-\frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{64}i

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