複素数 $(\sqrt{3} + i)$ の-5乗を計算します。つまり、$(\sqrt{3} + i)^{-5}$ を計算します。代数学複素数ド・モアブルの定理極形式2025/7/91. 問題の内容複素数 (3+i)(\sqrt{3} + i)(3+i) の-5乗を計算します。つまり、(3+i)−5(\sqrt{3} + i)^{-5}(3+i)−5 を計算します。2. 解き方の手順複素数 3+i\sqrt{3} + i3+i を極形式で表します。3+i=r(cosθ+isinθ)\sqrt{3} + i = r(\cos\theta + i\sin\theta)3+i=r(cosθ+isinθ) とおくと、r=(3)2+12=3+1=4=2r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2r=(3)2+12=3+1=4=2cosθ=32\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}cosθ=23、 sinθ=12\sin\theta = \frac{1}{2}sinθ=21よって、θ=π6\theta = \frac{\pi}{6}θ=6πしたがって、 3+i=2(cosπ6+isinπ6)\sqrt{3} + i = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})3+i=2(cos6π+isin6π)ド・モアブルの定理より、(3+i)−5=(2(cosπ6+isinπ6))−5=2−5(cos(−5π6)+isin(−5π6))(\sqrt{3} + i)^{-5} = (2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}))^{-5} = 2^{-5}(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i\sin(-\frac{5\pi}{6}))(3+i)−5=(2(cos6π+isin6π))−5=2−5(cos(−65π)+isin(−65π))2−5=1322^{-5} = \frac{1}{32}2−5=321cos(−5π6)=cos(7π6)=−32\cos(-\frac{5\pi}{6}) = \cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}cos(−65π)=cos(67π)=−23sin(−5π6)=sin(7π6)=−12\sin(-\frac{5\pi}{6}) = \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2}sin(−65π)=sin(67π)=−21(3+i)−5=132(−32−12i)=−364−164i(\sqrt{3} + i)^{-5} = \frac{1}{32}(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i) = -\frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{64}i(3+i)−5=321(−23−21i)=−643−641i3. 最終的な答え−364−164i-\frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{64}i−643−641i