複素数 $(\sqrt{3} + i)$ の-5乗を計算します。つまり、$(\sqrt{3} + i)^{-5}$ を計算します。

1. 問題の内容

複素数 $(\sqrt{3} + i)$ の-5乗を計算します。つまり、$(\sqrt{3} + i)^{-5}$ を計算します。

2. 解き方の手順

複素数 $\sqrt{3} + i$ を極形式で表します。

$\sqrt{3} + i = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおくと、

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$

$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$、 $\sin\theta = \frac{1}{2}$

よって、$\theta = \frac{\pi}{6}$

したがって、 $\sqrt{3} + i = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$

ド・モアブルの定理より、

$(\sqrt{3} + i)^{-5} = (2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}))^{-5} = 2^{-5}(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i\sin(-\frac{5\pi}{6}))$

$2^{-5} = \frac{1}{32}$

$\cos(-\frac{5\pi}{6}) = \cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(-\frac{5\pi}{6}) = \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

$(\sqrt{3} + i)^{-5} = \frac{1}{32}(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i) = -\frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{64}i$

3. 最終的な答え

$-\frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{64}i$