複素数 $(\sqrt{3} + i)$ の-5乗を計算します。つまり、$(\sqrt{3} + i)^{-5}$ を計算します。

代数学複素数ド・モアブルの定理極形式
2025/7/9

1. 問題の内容

複素数 (3+i)(\sqrt{3} + i) の-5乗を計算します。つまり、(3+i)5(\sqrt{3} + i)^{-5} を計算します。

2. 解き方の手順

複素数 3+i\sqrt{3} + i を極形式で表します。
3+i=r(cosθ+isinθ)\sqrt{3} + i = r(\cos\theta + i\sin\theta) とおくと、
r=(3)2+12=3+1=4=2r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2
cosθ=32\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}sinθ=12\sin\theta = \frac{1}{2}
よって、θ=π6\theta = \frac{\pi}{6}
したがって、 3+i=2(cosπ6+isinπ6)\sqrt{3} + i = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})
ド・モアブルの定理より、
(3+i)5=(2(cosπ6+isinπ6))5=25(cos(5π6)+isin(5π6))(\sqrt{3} + i)^{-5} = (2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}))^{-5} = 2^{-5}(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i\sin(-\frac{5\pi}{6}))
25=1322^{-5} = \frac{1}{32}
cos(5π6)=cos(7π6)=32\cos(-\frac{5\pi}{6}) = \cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
sin(5π6)=sin(7π6)=12\sin(-\frac{5\pi}{6}) = \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2}
(3+i)5=132(3212i)=364164i(\sqrt{3} + i)^{-5} = \frac{1}{32}(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i) = -\frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{64}i

3. 最終的な答え

364164i-\frac{\sqrt{3}}{64} - \frac{1}{64}i

「代数学」の関連問題

次の複素数方程式を解き、解を複素数平面上に図示する問題です。 (1) $z^2 = i$ (2) $z^4 = -4$ (3) $z^2 = 1 + \sqrt{3}i$

複素数複素数方程式複素数平面解の図示
2025/7/9

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求める。

線形代数行列固有値固有ベクトル
2025/7/9

$4 - \sqrt{3}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a^2 - ab + b^2$ の値を求める。

平方根整数部分小数部分式の計算
2025/7/9

## 解答

行列式最大公約数素因数分解
2025/7/9

3次方程式 $2t^3 - t^2 - 1 = 0$ を解き、$t$ の値を求めます。

三次方程式因数分解解の公式複素数
2025/7/9

空欄に当てはまる言葉を答える問題です。一つ目の空欄は「$xy \leq 0$」が「$x \geq 0$ かつ $y \leq 0$」であるための条件を問うもので、二つ目の空欄は「$(x-1)(y-1)...

不等式必要条件十分条件条件代数
2025/7/9

4次正方行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 1 & -1 \\ 6 & -5 & -2 & 2 \\ -3 & 7 & -2 & -5...

行列行列式逆行列余因子行列の計算
2025/7/9

$\frac{\sqrt{3n}}{5}$ が自然数となるような3桁の自然数 $n$ をすべて求める。

平方根整数不等式約数
2025/7/9

与えられた数式を簡略化します。 数式は $\sqrt{2} \left( \frac{x + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right)$ です。

数式簡略化平方根分配法則約分
2025/7/9

与えられた関数 $y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1}$ を簡単にすることを目的とします。具体的にどのような操作を行うべきかは問題文からは不明ですが、ここでは与式を整理すること...

分数式式の簡約化多項式の除算
2025/7/9