(1)
n≥2 のとき、an=Sn−Sn−1 であるから、 an=(n2−4n−3)−((n−1)2−4(n−1)−3) =(n2−4n−3)−(n2−2n+1−4n+4−3) =n2−4n−3−n2+2n−1+4n−4+3 a1=S1=12−4(1)−3=1−4−3=−6 an=2n−5 に n=1 を代入すると a1=2(1)−5=−3 となり、これは S1=−6 と一致しないので、 (2)
階差数列を求める。
5 - 4 = 1
10 - 5 = 5
19 - 10 = 9
32 - 19 = 13
階差数列は 1, 5, 9, 13, ... であり、これは初項 1, 公差 4 の等差数列である。
階差数列の一般項は 1+(n−1)4=4n−3 である。 an=a1+∑k=1n−1(4k−3)=4+4∑k=1n−1k−3∑k=1n−11 =4+42(n−1)n−3(n−1)=4+2n2−2n−3n+3=2n2−5n+7 n=1 のとき a1=2(1)2−5(1)+7=2−5+7=4 これは初項と一致する。
よって、an=2n2−5n+7 (3)
階差数列を求める。
9 - 7 = 2
13 - 9 = 4
21 - 13 = 8
37 - 21 = 16
階差数列は 2, 4, 8, 16, ... であり、これは初項 2, 公比 2 の等比数列である。
階差数列の一般項は 2⋅2n−1=2n である。 an=a1+∑k=1n−12k=7+∑k=1n−12k=7+2−12(2n−1−1)=7+2n−2=2n+5 n=1 のとき a1=21+5=7 これは初項と一致する。
よって、an=2n+5