(1) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 - 4n - 3$ で表されているとき、一般項 $a_n$ を求め、また $a_1$ を求める。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。数列は 4, 5, 10, 19, 32, ... (3) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。数列は 7, 9, 13, 21, 37, ...

1. 問題の内容

(1) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 - 4n - 3$ で表されているとき、一般項 $a_n$ を求め、また $a_1$ を求める。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。数列は 4, 5, 10, 19, 32, ...

(3) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。数列は 7, 9, 13, 21, 37, ...

2. 解き方の手順

(1)

$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ であるから、

$a_n = (n^2 - 4n - 3) - ((n-1)^2 - 4(n-1) - 3)$

$= (n^2 - 4n - 3) - (n^2 - 2n + 1 - 4n + 4 - 3)$

$= n^2 - 4n - 3 - n^2 + 2n - 1 + 4n - 4 + 3$

$= 2n - 5$

$a_1 = S_1 = 1^2 - 4(1) - 3 = 1 - 4 - 3 = -6$

$a_n = 2n - 5$ に $n = 1$ を代入すると $a_1 = 2(1) - 5 = -3$ となり、これは $S_1 = -6$ と一致しないので、

$a_1 = -6$

(2)

階差数列を求める。

5 - 4 = 1

10 - 5 = 5

19 - 10 = 9

32 - 19 = 13

階差数列は 1, 5, 9, 13, ... であり、これは初項 1, 公差 4 の等差数列である。

階差数列の一般項は $1 + (n - 1)4 = 4n - 3$ である。

$n \ge 2$ のとき

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k - 3) = 4 + 4 \sum_{k=1}^{n-1} k - 3 \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 4 + 4 \frac{(n-1)n}{2} - 3(n-1) = 4 + 2n^2 - 2n - 3n + 3 = 2n^2 - 5n + 7$

$n = 1$ のとき $a_1 = 2(1)^2 - 5(1) + 7 = 2 - 5 + 7 = 4$

これは初項と一致する。

よって、$a_n = 2n^2 - 5n + 7$

(3)

階差数列を求める。

9 - 7 = 2

13 - 9 = 4

21 - 13 = 8

37 - 21 = 16

階差数列は 2, 4, 8, 16, ... であり、これは初項 2, 公比 2 の等比数列である。

階差数列の一般項は $2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$ である。

$n \ge 2$ のとき

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = 7 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = 7 + \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 7 + 2^n - 2 = 2^n + 5$

$n = 1$ のとき $a_1 = 2^1 + 5 = 7$

これは初項と一致する。

よって、$a_n = 2^n + 5$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n - 5$ ($n \ge 2$), $a_1 = -6$

(2) $a_n = 2n^2 - 5n + 7$

(3) $a_n = 2^n + 5$