(1) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 - 4n - 3$ で表されているとき、一般項 $a_n$ を求め、また $a_1$ を求める。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。数列は 4, 5, 10, 19, 32, ... (3) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。数列は 7, 9, 13, 21, 37, ...

代数学数列一般項等差数列等比数列階差数列
2025/7/9

1. 問題の内容

(1) 数列 {an}\{a_n\} の初項から第 nn 項までの和 SnS_nSn=n24n3S_n = n^2 - 4n - 3 で表されているとき、一般項 ana_n を求め、また a1a_1 を求める。
(2) 数列 {an}\{a_n\} の一般項を求めよ。数列は 4, 5, 10, 19, 32, ...
(3) 数列 {an}\{a_n\} の一般項を求めよ。数列は 7, 9, 13, 21, 37, ...

2. 解き方の手順

(1)
n2n \ge 2 のとき、an=SnSn1a_n = S_n - S_{n-1} であるから、
an=(n24n3)((n1)24(n1)3)a_n = (n^2 - 4n - 3) - ((n-1)^2 - 4(n-1) - 3)
=(n24n3)(n22n+14n+43)= (n^2 - 4n - 3) - (n^2 - 2n + 1 - 4n + 4 - 3)
=n24n3n2+2n1+4n4+3= n^2 - 4n - 3 - n^2 + 2n - 1 + 4n - 4 + 3
=2n5= 2n - 5
a1=S1=124(1)3=143=6a_1 = S_1 = 1^2 - 4(1) - 3 = 1 - 4 - 3 = -6
an=2n5a_n = 2n - 5n=1n = 1 を代入すると a1=2(1)5=3a_1 = 2(1) - 5 = -3 となり、これは S1=6S_1 = -6 と一致しないので、
a1=6a_1 = -6
(2)
階差数列を求める。
5 - 4 = 1
10 - 5 = 5
19 - 10 = 9
32 - 19 = 13
階差数列は 1, 5, 9, 13, ... であり、これは初項 1, 公差 4 の等差数列である。
階差数列の一般項は 1+(n1)4=4n31 + (n - 1)4 = 4n - 3 である。
n2n \ge 2 のとき
an=a1+k=1n1(4k3)=4+4k=1n1k3k=1n11a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k - 3) = 4 + 4 \sum_{k=1}^{n-1} k - 3 \sum_{k=1}^{n-1} 1
=4+4(n1)n23(n1)=4+2n22n3n+3=2n25n+7= 4 + 4 \frac{(n-1)n}{2} - 3(n-1) = 4 + 2n^2 - 2n - 3n + 3 = 2n^2 - 5n + 7
n=1n = 1 のとき a1=2(1)25(1)+7=25+7=4a_1 = 2(1)^2 - 5(1) + 7 = 2 - 5 + 7 = 4
これは初項と一致する。
よって、an=2n25n+7a_n = 2n^2 - 5n + 7
(3)
階差数列を求める。
9 - 7 = 2
13 - 9 = 4
21 - 13 = 8
37 - 21 = 16
階差数列は 2, 4, 8, 16, ... であり、これは初項 2, 公比 2 の等比数列である。
階差数列の一般項は 22n1=2n2 \cdot 2^{n-1} = 2^n である。
n2n \ge 2 のとき
an=a1+k=1n12k=7+k=1n12k=7+2(2n11)21=7+2n2=2n+5a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = 7 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = 7 + \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 7 + 2^n - 2 = 2^n + 5
n=1n = 1 のとき a1=21+5=7a_1 = 2^1 + 5 = 7
これは初項と一致する。
よって、an=2n+5a_n = 2^n + 5

3. 最終的な答え

(1) an=2n5a_n = 2n - 5 (n2n \ge 2), a1=6a_1 = -6
(2) an=2n25n+7a_n = 2n^2 - 5n + 7
(3) an=2n+5a_n = 2^n + 5

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