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座標平面上の2点(1, -3), (5, 13)を通る放物線 $y=ax^2+bx+c$ (a>0)をCとする。 (1) b, cをaで表す。 (2) 放物線Cの頂点の座標をaを用いて表す。 (3) 放物線Cとx軸の交点をP, Qとするとき、線分PQの長さを求め、$t = \frac{1}{a}$とおくと、線分PQの長さを最小にするtの値と、そのときの長さを求める。

代数学二次関数放物線二次方程式頂点解の公式線分の長さ最小値
2025/7/9

1. 問題の内容

座標平面上の2点(1, -3), (5, 13)を通る放物線 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c (a>0)をCとする。
(1) b, cをaで表す。
(2) 放物線Cの頂点の座標をaを用いて表す。
(3) 放物線Cとx軸の交点をP, Qとするとき、線分PQの長さを求め、t=1at = \frac{1}{a}とおくと、線分PQの長さを最小にするtの値と、そのときの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 2点(1, -3), (5, 13)を通るから、
−3=a+b+c-3 = a + b + c
13=25a+5b+c13 = 25a + 5b + c
この2式からbとcをaで表す。
第2式から第1式を引くと、16=24a+4b16 = 24a + 4bとなる。
4b=16−24a4b = 16 - 24a より、 b=4−6ab = 4 - 6a
−3=a+(4−6a)+c-3 = a + (4 - 6a) + c より、c=−7+5ac = -7 + 5a
(2) y=ax2+(4−6a)x+(−7+5a)y = ax^2 + (4 - 6a)x + (-7 + 5a)
y=a(x2+4−6aax)−7+5ay = a(x^2 + \frac{4 - 6a}{a}x) - 7 + 5a
y=a(x+4−6a2a)2−a(4−6a2a)2−7+5ay = a(x + \frac{4 - 6a}{2a})^2 - a(\frac{4 - 6a}{2a})^2 - 7 + 5a
y=a(x+2−3aa)2−(4−12a+9a2)4a−7+5ay = a(x + \frac{2 - 3a}{a})^2 - \frac{(4 - 12a + 9a^2)}{4a} - 7 + 5a
y=a(x+2−3aa)2−4−12a+9a2+28a−20a24ay = a(x + \frac{2 - 3a}{a})^2 - \frac{4 - 12a + 9a^2 + 28a - 20a^2}{4a}
y=a(x+2−3aa)2−−11a2+16a+44ay = a(x + \frac{2 - 3a}{a})^2 - \frac{-11a^2 + 16a + 4}{4a}
頂点は (−2−3aa,−−11a2+16a+44a)=(3a−2a,11a2−16a−44a)(-\frac{2 - 3a}{a}, -\frac{-11a^2 + 16a + 4}{4a}) = (\frac{3a - 2}{a}, \frac{11a^2 - 16a - 4}{4a})
(3) x軸との交点ではy=0なので、ax2+(4−6a)x+(−7+5a)=0ax^2 + (4 - 6a)x + (-7 + 5a) = 0
解の公式より、x=−(4−6a)±(4−6a)2−4a(−7+5a)2ax = \frac{-(4 - 6a) \pm \sqrt{(4 - 6a)^2 - 4a(-7 + 5a)}}{2a}
x=6a−4±16−48a+36a2+28a−20a22ax = \frac{6a - 4 \pm \sqrt{16 - 48a + 36a^2 + 28a - 20a^2}}{2a}
x=6a−4±16a2−20a+162ax = \frac{6a - 4 \pm \sqrt{16a^2 - 20a + 16}}{2a}
x=6a−4±4a2−54a+12a=3a−2±2a2−54a+1ax = \frac{6a - 4 \pm 4\sqrt{a^2 - \frac{5}{4}a + 1}}{2a} = \frac{3a - 2 \pm 2\sqrt{a^2 - \frac{5}{4}a + 1}}{a}
PQ=∣3a−2+2a2−54a+1a−3a−2−2a2−54a+1a∣=∣4a2−54a+1a∣PQ = |\frac{3a - 2 + 2\sqrt{a^2 - \frac{5}{4}a + 1}}{a} - \frac{3a - 2 - 2\sqrt{a^2 - \frac{5}{4}a + 1}}{a}| = |\frac{4\sqrt{a^2 - \frac{5}{4}a + 1}}{a}|
PQ=4aa2−54a+1PQ = \frac{4}{a} \sqrt{a^2 - \frac{5}{4}a + 1}
t=1at = \frac{1}{a}より、a=1ta = \frac{1}{t}
PQ=4t1t2−54t+1=41−54t+t2PQ = 4t\sqrt{\frac{1}{t^2} - \frac{5}{4t} + 1} = 4\sqrt{1 - \frac{5}{4}t + t^2}
PQ=4(t−58)2+1−2564=4(t−58)2+3964PQ = 4\sqrt{(t - \frac{5}{8})^2 + 1 - \frac{25}{64}} = 4\sqrt{(t - \frac{5}{8})^2 + \frac{39}{64}}
t=58t = \frac{5}{8}のとき最小値をとる。最小値は43964=4398=3924\sqrt{\frac{39}{64}} = 4\frac{\sqrt{39}}{8} = \frac{\sqrt{39}}{2}

3. 最終的な答え

b = 4 - 6a
c = -7 + 5a
頂点: (3a−2a,11a2−16a−44a)(\frac{3a - 2}{a}, \frac{11a^2 - 16a - 4}{4a})
PQ = 4a2−54a+1a\frac{4\sqrt{a^2 - \frac{5}{4}a + 1}}{a}
t=58t = \frac{5}{8}
最小値: 392\frac{\sqrt{39}}{2}

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